Limite da calcolare con l'arcoseno......

[ardimentoso66]

Uno studente di una mia collega mi ha proposto il seguente limite (ma io sono un pò arruginito....):

$\lim_{x\to+\infty}\text{arcsin}((e^x+3)/(e^(2x)-1))$

Questo limite vale zero ma non riesco a ricordare quale sostituzione fare e a quale limite notevole ricondurmi.
P.S. Da risolvere solo con l'ausilio dei limiti notevoli.

Grazie per le indicazioni

Ardimentoso66

[Sk_Anonymous]

non è una forma indeterminata: fa zero

[cavallipurosangue]

Come non è indetreminata? è $\infty/\infty$

[ardimentoso66]

Occorre effettuare un banale "passaggio al limite"?
Tutto qui?

[cavallipurosangue]

A me non risulta, nè che non sia indeterminato, nè che esiste una qualche forma di limite notevole riconducibile a questa.
Quindi, come si fa alle superiori, o almeno a me lo facevano fare così:
$\lim_{x\to+\infty}\text{arcsin}((e^x+3)/(e^(2x)-1))=lim_{x\to+\infty}\text{arcsin}{1/e^x+3/e^{2x})/(1-1/e^{2x})=0$
Infatti il numetratore tende a zero il denominatore a uno e l'arcoseno di zero è zero.

[Sk_Anonymous]

dividi per $e^x$ numeratore e denominatore quindi viene arcsin$((1+3/(e^x))/(e^x-1/(e^x))$ quindi capirai che se il denominatore cresce con una potenza superiore la frazione va a zero e non è una forma indeterminata.

[ardimentoso66]

Grazie davvero.
In effetti ero stato fuorviato dalle intenzioni dell'allievo che insisteva con i limiti notevoli....e poi io sono fuori allenamento...
Ancora grazie

Ardimentoso66

[cavallipurosangue]

La forma è indeterminata perchè con la semplice "sostituzione" ti trovi una forma $\infty/\infty$, solo dopo, studiando di che oridne sono questi due infiniti, capisci come sarà l'andamento della funzione. Non lo puoi sapere invece senza fare questo passaggio, che per l'amor del cielo può esser benissimo fatto a mente in un nanosecondo... Tutto questo però non implica che non vada fatto. Spero di essermi spiegato. Ciao

[Sk_Anonymous]

cacchio hai ragione!