Limite con sostituzione

[gcappellotto47]

Salve a tutti
propongo questo limite:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{(2x-\pi) \cos(x)}{x(1-\sin(x))}$

sostituzione:
$y=x-\frac{\pi}{2} \quad \quad x=y+\frac{y}{2}$

$\lim_{y \to 0} \frac{2y-\frac{\pi}{2}\cos(y+ \frac{\pi}{2})}{(y+\frac{\pi}{2})(1-\sin(y+\frac{\pi}{2}))}$

A questo punto non so come proseguire
Gradirei qualche indicazione
Grazie e saluti
Giovanni C.

[minomic]

Formule degli angoli associati:
\[
\cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin y \\
\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right) = \cos y
\]

P.S. Al numeratore viene \( 2y\cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right) \)

[francicko]

Io ho provato a risolverlo senza ricorrere alla sostituzione, ho osservato che $lim_(x->pi/2)((pi/2-x)/cosx)=lim_(x->0)(x/sinx)=1$, lo si deduce facilmente osservando il cerchio trigonometrico,quindi riscrivo il limite come $lim_(x->pi/2)-2(pi/2-x)/(x(1-sinx))$ dopodichè moltiplico sia il numeratore che il denominatore per il fattore $(1+sinx)$ ottenendo
$lim_(x->pi/2)-2(pi/2-x)(cosx)(1+sinx)/(x(1-sinx)(1+sinx))=$ $lim_(x->pi/2)-2(pi/2-x)cosx(1+sinx)/(x(1-sin^2(x)))=$ $lim_(x->pi/2)-2(pi/2-x)(cosx)(1+sinx)/(xcos^2(x))$, pertanto avrò semplificando $lim_(x->pi/2)-2(pi/2-x)(1+sinx)/(xcosx)$ cioè $lim_(x->pi/2)((-2(1+sinx)/x)((pi/2-x)/cosx))$ ma come già detto $lim_(x->pi/2)((pi/2-x)/cosx)=1$ calcolando,
si ha: $-2(1+1)/(pi/2)=-4/(pi/2)=-8/pi$, penso sia giusto, comunque correggetemi se ho sbagliato!
Saluti!

[@melia]

In effetti non hai sostituito, ma avresti dovuto farlo, il primo limite avrebbe dovuto essere scritto così
$lim_(x->pi/2)((pi/2-x)/cosx)=lim_(y->0)(y/siny)=1$, con $y=pi/2-x$
perché non puoi usare lo stesso simbolo $x$ per indicare due cose diverse.
In compenso il risultato è corretto.

[francicko]

Daccordo, ma una volta affermato questo, per il resto il limite è corretto nel suo svolgimento, o mi sbaglio?

[@melia]

È corretto e non ti sbagli.
[size=50]Quello che non è corretto è daccordo, che si scrive d'accordo.[/size]