Limite con radice
Ho questo limite: $lim_(x->0)((root(5)(1+x)-1)/x)$
Ho pensato di razionalizzare, ma poi ho capito che non mi avrebbe portato da nessuna parte.
Ho pensato di ricondurmi al limite notevole: $lim_(x->0)((e^x-1)/x)$
Solo che non ho idea di come togliere la radice. Forse trasformarla in potenza con esponente frazionario?
Potreste darmi un suggerimento a riguardo?
Ho pensato di razionalizzare, ma poi ho capito che non mi avrebbe portato da nessuna parte.
Ho pensato di ricondurmi al limite notevole: $lim_(x->0)((e^x-1)/x)$
Solo che non ho idea di come togliere la radice. Forse trasformarla in potenza con esponente frazionario?
Potreste darmi un suggerimento a riguardo?
Risposte
Bisogna usare le equivalenze asintotiche , non vedo altra strada
Non vorrei utilizzarle, poichè l'esercizio non ne prevede l'uso. Vorrei tovare una strada usando solo limiti notevoli.
La butto lì, ma molto lì e mi serve una vagonata di fogli di carta prima di confermarti quanto dico... 
Ricordo che $a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)$ e si potrebbe moltiplicare e dividere per ottenere il prodotto notevole e togliere le radici.
EDIT. Wow, se non ho sbagliato i calcoli funziona!
Ricordo che $a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)$ e si potrebbe moltiplicare e dividere per ottenere il prodotto notevole e togliere le radici.
EDIT. Wow, se non ho sbagliato i calcoli funziona!
Lo sviluppo è giusto, però non ho capito come questo possa aiutare a togliere la radice.
Tecnicamente è già un limite notevole: $lim_(x->0) ((1+x)^\alpha -1)/x = \alpha, AA \alpha in RR$, tant'è che fa $1/5$ quel limite.
Si può dimostrare appunto usando il limite dell'esponenziale che hai suggerito: si pone $1+x = e^y$ ed osservare che per $x->0$ anche $y->0$; il limite diventa quindi:
$lim_(y->0) (e^(\alphax) - 1)/(e^y-1)$
$lim_(y->0) (e^(\alphax) - 1)/(y)*(y)/(e^y-1)$
$lim_(y->0) ((e^(\alpha))^y - 1)/(y)*(y)/(e^y-1)$
A questo punto dovrebbe essere facile concludere
Si può dimostrare appunto usando il limite dell'esponenziale che hai suggerito: si pone $1+x = e^y$ ed osservare che per $x->0$ anche $y->0$; il limite diventa quindi:
$lim_(y->0) (e^(\alphax) - 1)/(e^y-1)$
$lim_(y->0) (e^(\alphax) - 1)/(y)*(y)/(e^y-1)$
$lim_(y->0) ((e^(\alpha))^y - 1)/(y)*(y)/(e^y-1)$
A questo punto dovrebbe essere facile concludere
"olegfresi":
Lo sviluppo è giusto, però non ho capito come questo possa aiutare a togliere la radice.
Se considero $a=\root(5)(1+x)$ e moltiplico e divido per "l'altro termine" posso fare così
$(\root(5)(1+x)-1)\cdot \frac{(\root(5)(1+x))^4+(\root(5)(1+x))^3+(\root(5)(1+x))^2+\root(5)(1+x)+1}{(\root(5)(1+x))^4+(\root(5)(1+x))^3+(\root(5)(1+x))^2+\root(5)(1+x)+1} = ((\root(5)(1+x))^5-1) \cdot \frac{1}{...} = ...$
@Obidream: non me lo ricordavo proprio il limite notevole...
@ Obidream: quel limite lo conoscevo, am in questo esercizio proprio non l'ho visualizzato, in effetti non l'ho mai utilizzato.
@ Zero87: beh, metodo un pò lungo ma comunque funzionante.
Grazie a entrambi per l'aiuto!
@ Zero87: beh, metodo un pò lungo ma comunque funzionante.
Grazie a entrambi per l'aiuto!
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