Limite con parametro..

[sh4rk]

Ciao a tutti, ho un problema con questo limite.

[math]\lim_{x \to \infty} \; \frac{\sqrt{sin{x^2}+sin{x}}-\sqrt{x^2+x}}{\ln (1+x^{\frac{5}{4}})-x^\alpha}[/math]

Alfa è un parametro reale. Devo calcolare il limite al variare di alfa.
Qualcuno può aiutarmi?

P.S.: dove c'è x54 è x^(5/4), non riesco a scriverlo meglio.

[xico87]

[math] \sqrt{sin{x^2}+sin{x}}[/math]

è infinitesimo rispetto a

[math] \sqrt{x^2+x} [/math]

ora devi gardare la situazione al denominatore (con de l'hopital), e vedere per quali valori del parametro il logaritmo è/non è infinitesimo rispetto ad x^alpha:

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{ \ln (1 + x^{5/4})}{x^\alpha} =

\lim_{x \to \infty} \; \frac{\frac 54 x^{1/4}}{\alpha x^{\alpha-1}(1+x^{5/4})} [/math]

prova a vedere i casi in cui è uguale a l numero finito (cioè quando numeratore e denominatore hanno lo stesso ordine di infinito), 0 e infinito, poi andiamo avanti