Limite con parametro

[gabriello47]

Sapendo della mia fissa per la matematica, il figlio d'un amico m'ha proposto un esercizio assegnatogli in un non so quale corso "sperimentale", cioè un limite con parametro $a in R$:
$lim _(x->+infty)((2+4x^2)/(5-3x+ax^2))^((a+2)x^2)$
Ho pensato così:
la base tende a $4/a$ e l'esponente a $\pm infty$ in relazione al segno di $a+2$, salvo il caso $a=-2$ per il quale l'esponente è $0$. Ho individuato i seguenti casi:
1) $a< -2$.
2) $a=-2$
3) $-2 4)$a=0$
5)$0 6)$a=4$
7)$a>4$

Nel caso 1) il lim non esiste perchè la base della funzione esponenziale ha da essere $>0$ $e !=1$
nel caso 2) il lim è $(-2)°=1$;
nel caso 3) idem caso 1)
nei casi 4) e 5) lim è $\+infty$;
nel caso 7) lim è $0$
nel caso 6) si ha la forma indeterminata $ 1^(\infty)$. Scritta la funzione nella forma $e^((6x^2)ln((2+4x^2)/(4x^2-3x+5)))$
e utilizzando note formule sono arrivato al valore $e^(3/2*\infty)$ e quindi il lim sarebbe $\+infty$.
Essendo poco esperto di questi esercizi e per non dare consigli sbagliati al giovanotto mi sarebbe gradito che qualche maestro del sito mi correggesse l'esercizio, in particolare il caso 6.
Grazie in anticipo.

[theras]

Nel caso (19,ma pure nel (3),non è vero che il limite non esiste:
è che risulta illegittimo chidersi di esso,
perche in quelle evenienze è limitato il dominio della funzione che stiamo passando al limite
(la chiamerò "argomento",in seguito)..
Per $a=-2$ hai ragione,in conclusione,ma sospetto per ragioni di verse da quelle che hai attenzionato:
nel caso postale nei dettagli,che ne riparliamo..
Sul (4),(4),(7) siam d'accordo(anche quì,per sicurezza,posta i tuoi ragionamenti nel modo più completo possibile..),
mentre nel caso (6) ricorda che quando hai forme indeterminate di quel tipo si ha $lim_(x to c)[f(x)]^(g(x))=lim_(x to c)e^([f(x)-1]*g(x))$
(ammessa la liceità dell'uguaglianza,ossia l'esistenza di entrambi i limiti in essa presenti..):
magari t'è utile !
Saluti dal web.

[Lory314]

Non sono un maestro ma provo a risponderti per il caso 6.
Scrivi la funzione nella forma che hai scritto te e considera
\[
\frac{4x^2+2}{4x^2 -3x + 5} = \frac{4x^2 - 3x +5 +3x - 3}{4x^2 -3x + 5} = (1 + \frac{3x-3}{4x^2-3x+5})
\]
Quindi per $x\to\infty$
\[
ln(1 + \frac{3x-3}{4x^2-3x+5})6x^2 \sim \frac{3x-3}{4x^2-3x+5}6x^2
\]
Da questo ottieni il limite
\[
\displaystyle \lim_{x\to\infty}{e^{\frac{3x-3}{4x^2-3x+5}6x^2}} = +\infty
\]