Limite con la definizione

[Zero87]

Posto qui perché queste cose le ho fatte una decina di anni fa allo scientifico: se la sezione è sbagliata, chiedo scusa e invoco i poteri degli uomini in verde per spostarla in una migliore.

Comunque, devo verificare un limite con la definizione, cose che mi sono sempre state antipatiche.
Il limite è
$lim_(x->1) log(x-1)^2 = -\infty$.

Scelgo $M>0$ e pongo
$|log(x-1)^2|<-M$.
Supponendo di trovarmi in un intorno di $1$ per la $x$[nota]Qui ho qualche dubbio non tanto perché è sbagliato come ragionamento, quanto perché, in teoria, è quello che voglio dimostrare... [/nota], posso considerare il logaritmo negativo (l'argomento $<1$ in pratica) e tolgo il valore assoluto
$-log(x-1)^2 < -M$
da cui
$log(x-1)^2>M$
semplicemente cambiando segno e verso della disequazione.

Ora, esponenziali e logaritmi sono iniettivi - grazie di esistere, analisi reale! - dunque
$e^(log(x-1)^2)>e^M$
cioè
$(x-1)^2>e^M$.

Risolvo e rimescolo
$x^2-2x+1-e^M>0$.

Saltando qualche passaggio (che ho sul foglio, comunque), ottengo
$x>1+\sqrt(e^M)$ e $x<1-\sqrt(e^M)$


Magari, cercando di farmelo riportare, posso moltiplicare tutto per $-1$ ottenendo
$-1-sqrt(e^M)<-x<-1+\sqrt(e^M)$
da cui, aggiungendo $1$ ad ambo i membri
$-\sqrt(e^M)<1-x<\sqrt(e^M)$
ovvero
$|1-x|<\sqrt(e^M)$
per carità, come forma ci siamo... ma non è grossetto per essere un $\delta$?

[Shocker1]

Ciao Zero87!

Provo a risponderti io

"Zero87":
Scelgo $M>0$ e pongo
$|log(x-1)^2|<-M$.

Non mi sembra una scrittura corretta, essendo il modulo sempre positivo e $-M < 0$ allora la disequazione non è mai verificata.
In questo caso devi risolvere:
$log(x-1)^2 < -M$

Edit: aggiungo che, generalmente, per dimostrare che $lim_{x->x_0} f(x) = oo$ , bisogna impostare la disequazione così:

$f(x) > M$ se $lim_{x->x_0} f(x) = +oo$
oppure
$f(x) < -M$ se $lim_{x->x_0} f(x) = -oo$

Chiedo scusa per il poco rigore e spero di essere stato chiaro

[chiaraotta1]

Se il limite è $-oo$, allora, posto $M>0$, si cerca di dimostrare che
$log(x-1)^2<-M$ in un intorno di $1$.
Ma, con $x!=1$,
$log(x-1)^2<-M->(x-1)^2$
$-e^(-M)1-e^(-M)

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[Zero87]

"Shocker":[quote="Zero87"]
Scelgo $M>0$ e pongo
$|log(x-1)^2|<-M$.

Non mi sembra una scrittura corretta, essendo il modulo sempre positivo e $-M < 0$ allora la disequazione non è mai verificata.
In questo caso devi risolvere:
$log(x-1)^2 < -M$[/quote]
Grazie... mamma mia che errore stupido che ho fatto!

Intendevo $|f(x)|>M$ nel caso negativo, ma ho preso fischio per fiasco mescolando questa definizione con quella standard ($f(x)<-M$ in generale)...

Grazie a entrambi.

Tanto per ricordare se sono sulla retta via (vado a braccio, se scrivo scempiaggini prego chiunque di bacchettarmi).
$lim_(x->x_0) f(x) = -\infty$ sse
$\forall M>0$, $\exists \delta>0$ t.c. $0<|x-x_0|<\delta$ implica $f(x)<-M$.
oppure (analogamente)
$\forall M>0$, $\exists \delta>0$ t.c. $0<|x-x_0|<\delta$ implica $|f(x)|>M$.

Quest'ultima è quella che ho trovato in molti libri anche perché riassume entrambi i casi $-\infty$ e $+\infty$: ottimo, le ho mischiate ricavando qualcosa senza senso...