Limite con gli sviluppi di taylor

[Rossella90P]

lim log(1+3x^2)-xsin(3x)/2-x^2-2cosx
x->+infinito

[ciampax]

E' questo il limite?

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin(3x)}{2-x^2-2\cos x}[/math]

Quali sono i problemi?

[Rossella90P]

Si è questo il limite. Non riesco a risolverlo

[ciampax]

Gli sviluppi di Taylor dovresti usarli solo se calcoli il limite per

[math]x\rightarrow 0[/math]

! In questa situazione, con x che va all'infinito, puoi procedere così

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\left(\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}-\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2\left(\frac{2}{x^2}-1-\frac{2\cos x}{x^2}\right)}=
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}-\frac{\sin x}{x^2}}{\frac{2}{x^2}-1-\frac{2\cos x}{x^2}}[/math]

Ora analizza separatamente i vari pezzi: hai per il primo, usando de l'Hopital

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{6x}{1+3x^2}}{2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3}{1+3x^2}=0[/math]

per il secondo e il terzo, essendo le funzioni seno e coseno limitate

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\cos x}{x^2}=0[/math]

e quindi

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=\frac{0-0}{0-1-0}=0[/math]

Se invece il limite lo fai a zero, allora usa questi sviluppi

[math]\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+o(t^5)[/math]

[math]\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4!}+o(t^4)[/math]

[math]\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)[/math]

da cui

[math]\sin(3x)=3x-\frac{9x^3}{2}+\frac{81 x^5}{40}+o(x^5)[/math]

[math]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)[/math]

[math]\log(1+3x^2)=3x^2-\frac{9x^4}{2}+9 x^6+o(x^6)[/math]

e quindi

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-\frac{9x^4}{2}+9 x^6+o(x^6)-3x^2+\frac{9x^4}{2}-\frac{81 x^6}{40}+o(x^6)}{2-x^2-2+x^2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{279}{40} x^6+0(x^6)}{-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}=0[/math]

in quanto al numeratore c'è una potenza più alta della x.