Limite con forma di indecisione. Risultato errato
Sto seguendo i corsi di Analisi I, ma penso che questo esercizio sia più attinente alle scuole superiori, pertanto posto qui. Se ho sbagliato sezione, mi scuso con i mod.
Calcolare il limite $ lim_(x -> 0) (sqrt(1+x)-(1+5x)^(1/3))/sinh(x) $
La funzione è continua, ma sostituendo ci troviamo nella forma di indecisione $0/0$.
Sappiamo che (1) $ sinh(x) ~ x$ per $ x -> 0 $ e inoltre (2) $ (1+x)^a - 1 ~ ax$ per $x -> 0 $. Riscriviamo il limite nella forma equivalente $ lim_(x -> 0) -((1+5x)^(1/3)-sqrt(1+x))/sinh(x) $
E' chiaro che $sqrt(x+1)$ stia tendendo a 1, pertanto applichiamo (1) al numeratore e (2) al denominatore. Otteniamo che l'intera funzione è asintotica a $-((1/3)5x)/x = -5/3$ ma il risultato è errato (quello del libro invece dovrebbe essere giusto perchè controllato con Derive). Dove sbaglio?
Calcolare il limite $ lim_(x -> 0) (sqrt(1+x)-(1+5x)^(1/3))/sinh(x) $
La funzione è continua, ma sostituendo ci troviamo nella forma di indecisione $0/0$.
Sappiamo che (1) $ sinh(x) ~ x$ per $ x -> 0 $ e inoltre (2) $ (1+x)^a - 1 ~ ax$ per $x -> 0 $. Riscriviamo il limite nella forma equivalente $ lim_(x -> 0) -((1+5x)^(1/3)-sqrt(1+x))/sinh(x) $
E' chiaro che $sqrt(x+1)$ stia tendendo a 1, pertanto applichiamo (1) al numeratore e (2) al denominatore. Otteniamo che l'intera funzione è asintotica a $-((1/3)5x)/x = -5/3$ ma il risultato è errato (quello del libro invece dovrebbe essere giusto perchè controllato con Derive). Dove sbaglio?
Risposte
Mi pare che tu abbia trascurato la prima radice. Io ottengo
$=lim_(x->0)(1+1/2x-(1+5/3x))/x=1/2-5/3=-7/6$
Gli studenti delle superiori, ai quali questo metodo può risultare poco comprensibile, possono cavarsela con L'Hospital.
$=lim_(x->0)(1+1/2x-(1+5/3x))/x=1/2-5/3=-7/6$
Gli studenti delle superiori, ai quali questo metodo può risultare poco comprensibile, possono cavarsela con L'Hospital.
Non ho ben capito quale procedimento hai applicato al numeratore. In pratica hai applicato qualcosa tipo $(1+x)^a ~ 1+ax$ ma so che non è formalmente corretto sommare all'asintotico una quantità ad entrambi i membri, è per questo che esiste l'algebra deli o-piccoli. Oppure mi sbaglio?
Perchè in effetti $lim_(x ->0) (1+x)^a /( ax+1) -> 1$ (non è neanche forma di indecisione) per cui potremmo anche scrivere $(1+x)^a ~ 1+ax$ . Però se io ho che $sinx ~ x$ (infatti $lim_(x->0) sinx/x -> 1$) io posso sommare 1 ad entrambi i membri e dire che $sin(x) +1 ~ x+1$ infatti $lim_(x->0) (sin(x) +1) / (x+1) -> 1$ (non è neanche forma di indecisione) ma ciò non è vero se sommo 2 ad entrambi i membri dell'asintotico, infatti $lim_(x->0) (sin(x) +2) /(x+2) -> 2$, e quindi non ottengo un asintotico corretto. In generale, comunque, sommando al numeratore e al denominatore una stessa cifra che non sia 0 il risultato cambia. Potreste spiegarmi quale è la regola per gli asintotici? Semplicemente il ragionamento non è generalizzabile, e quindi provo a fare il rapporto e, se viene 1, scrivo l'asintotico? O in generale posso sommare 1 ad entrambi i membri dell'asintotico?
Perchè in effetti $lim_(x ->0) (1+x)^a /( ax+1) -> 1$ (non è neanche forma di indecisione) per cui potremmo anche scrivere $(1+x)^a ~ 1+ax$ . Però se io ho che $sinx ~ x$ (infatti $lim_(x->0) sinx/x -> 1$) io posso sommare 1 ad entrambi i membri e dire che $sin(x) +1 ~ x+1$ infatti $lim_(x->0) (sin(x) +1) / (x+1) -> 1$ (non è neanche forma di indecisione) ma ciò non è vero se sommo 2 ad entrambi i membri dell'asintotico, infatti $lim_(x->0) (sin(x) +2) /(x+2) -> 2$, e quindi non ottengo un asintotico corretto. In generale, comunque, sommando al numeratore e al denominatore una stessa cifra che non sia 0 il risultato cambia. Potreste spiegarmi quale è la regola per gli asintotici? Semplicemente il ragionamento non è generalizzabile, e quindi provo a fare il rapporto e, se viene 1, scrivo l'asintotico? O in generale posso sommare 1 ad entrambi i membri dell'asintotico?
In mancanza del segno di "asintoticamente uguale" il tuo scritto è poco comprensibile. Quello che ho fatto è trattare nello stesso modo i due addendi a numeratore. Come $(1+5x)^(1/3)$ è asintoticamente uguale (anch'io non conosco il giusto simbolo) a $1+5/3x$, così $sqrt(1+x)=(1+x)^(1/2)$ è asintoticamente uguale a $1+1/2x$. In entrambi i casi, trascuro gli infinitesimi di grado superiore a 1.
Quanto al fatto che sommando a numeratore e denominatore uno stesso numero che non sia zero il risultato cambia, è vero per qualsiasi frazione diversa da 1: $3/5!=(3+4)/(5+4)$; il tuo esempio è valido solo perché il risultato è 1 (fra l'altro, anche l'ultimo limite è 1, non 2). Un po' diverso è il caso dei limiti, in cui si possono trascurare gli infinitesimi di grado superiore: essendo infinitesimi, possono essere trattati all'incirca come zeri.
Quanto al fatto che sommando a numeratore e denominatore uno stesso numero che non sia zero il risultato cambia, è vero per qualsiasi frazione diversa da 1: $3/5!=(3+4)/(5+4)$; il tuo esempio è valido solo perché il risultato è 1 (fra l'altro, anche l'ultimo limite è 1, non 2). Un po' diverso è il caso dei limiti, in cui si possono trascurare gli infinitesimi di grado superiore: essendo infinitesimi, possono essere trattati all'incirca come zeri.
Inizio a capire, ma ho ancora un paio di dubbi:
1) Il simbolo di asintotico non è $~$? A me l'hanno sempre spiegato così e i due libri che ho (il Boella e il Bramanti, spero che non sia considerato spam, li dico anche per avere un opinione su di essi .....) usano questo simbolo
2) Quindi, essendo che una quantità è asintotica a un altra se e solo se il loro rapporto tende a 1, posso sommare al numeratore e al denominatore la stessa quantità e il rapporto continua a tendere a 1. E quindi a cosa serve l'algebra degli o-piccolo? Io sapevo che serviva proprio per effetture le addizioni\sottrazioni che altrimenti sarebbero risultate impossibilida eseguire con gli asintotici
3) Ancora non ho capito come fai a dire che $(1+x)^a$ è asintotico a $1+ax$. Cioè non ho capito quale regola\proprietà\ragionamento ti porta a dire che l'esponente si moltiplica per il coefficente della x piuttosto che dividerlo, sommarlo, ecc... Cioè non ho capito quel tuo "In entrambi i casi, trascuro gli infinitesimi di grado superiore a 1. " (almenochè ovviamente non si possa sommare all'asintotico la stessa quantità ad entrambi i membri, come nel post precedente, e quindi nasce dal limite fondamentale $(1+x)^a-1 ~ ax$ aggiungendo 1 ad entrambi i membri ....)
Per il limite che tende a 1 e non a 2 hai ragione, non so che caspita stavo pensando ......
1) Il simbolo di asintotico non è $~$? A me l'hanno sempre spiegato così e i due libri che ho (il Boella e il Bramanti, spero che non sia considerato spam, li dico anche per avere un opinione su di essi .....) usano questo simbolo
2) Quindi, essendo che una quantità è asintotica a un altra se e solo se il loro rapporto tende a 1, posso sommare al numeratore e al denominatore la stessa quantità e il rapporto continua a tendere a 1. E quindi a cosa serve l'algebra degli o-piccolo? Io sapevo che serviva proprio per effetture le addizioni\sottrazioni che altrimenti sarebbero risultate impossibilida eseguire con gli asintotici
3) Ancora non ho capito come fai a dire che $(1+x)^a$ è asintotico a $1+ax$. Cioè non ho capito quale regola\proprietà\ragionamento ti porta a dire che l'esponente si moltiplica per il coefficente della x piuttosto che dividerlo, sommarlo, ecc... Cioè non ho capito quel tuo "In entrambi i casi, trascuro gli infinitesimi di grado superiore a 1. " (almenochè ovviamente non si possa sommare all'asintotico la stessa quantità ad entrambi i membri, come nel post precedente, e quindi nasce dal limite fondamentale $(1+x)^a-1 ~ ax$ aggiungendo 1 ad entrambi i membri ....)
Per il limite che tende a 1 e non a 2 hai ragione, non so che caspita stavo pensando ......
Effettivamente il simbolo $\sim$ indica l'asintoticamente uguale; non so come l'hai realizzato sul tuo computer, ma sul mio risulta invisibile o sostituito da segnalazioni di errore. A suo tempo, mi avevano detto che quel simbolo grafico si chiama tilde e si realizza con Alt 126; ho provato, ma ottenendo tutt'altro, e alla fine ho risolto il problema usando LaTex.
Quanto agli sviluppi asintotici, sono conseguenza degli sviluppi in serie di potenze; suppongo che tu li abbia studiati, perché normalmente precedono le loro applicazioni. Sai quindi che
$(1+x)^a=1+ax+(a(a-1))/2 x^2+...$
quindi, raccogliendo $x^2$ fra i termini dal terzo in poi,
$(1+x)^a=1+ax+x^2* g(x)$
dove $g(x)$ è definito dalla formula precedente, ma di cui sappiamo che assume un valore limitato per $x->0$. Sostituendo questa formula nel limite da calcolare, scopriamo che si possono fare i calcoli anche senza conoscere $g(x)$, che quindi non ci interessa. Questo è il ragionamento alla base degli o-piccolo: anzichè scrivere $x^2*g(x)$ si scrive $o(x^2)$.
Quanto agli sviluppi asintotici, sono conseguenza degli sviluppi in serie di potenze; suppongo che tu li abbia studiati, perché normalmente precedono le loro applicazioni. Sai quindi che
$(1+x)^a=1+ax+(a(a-1))/2 x^2+...$
quindi, raccogliendo $x^2$ fra i termini dal terzo in poi,
$(1+x)^a=1+ax+x^2* g(x)$
dove $g(x)$ è definito dalla formula precedente, ma di cui sappiamo che assume un valore limitato per $x->0$. Sostituendo questa formula nel limite da calcolare, scopriamo che si possono fare i calcoli anche senza conoscere $g(x)$, che quindi non ci interessa. Questo è il ragionamento alla base degli o-piccolo: anzichè scrivere $x^2*g(x)$ si scrive $o(x^2)$.
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