Limite con fattoriale

[DagoC]

$\lim_{n \to \infty}(n-1)^n/(n!)$

Hmmm. Come si risolve?

[piero_1]

"DagoC":$\lim_{n \to \infty}(n-1)^n/(n!)$

Hmmm. Come si risolve?

io farei così (il primo metodo che mi viene in mente):
$\lim_{n \to \infty}(n-1)^n/(n!)=lim_{n \to \infty}e^(n·ln(n - 1))/(n!)=+infty$

[Morpheus 21]

Siccome sai che per la trasformata di Taylor $e^x=\sum_{k=1}^infty (x^k)/(k!)$ fai la sostituzionre e ottieni $\lim_{n \to \infty}e^(n-1)$ ... Dopodichè tutto il resto e noia...

[giammaria2]

La risposta di piero_ è illeggibile; in quella di Morpheus 21 non capisco dove è scomparsa la sommatoria e come si possano mescolare k e x. La mia soluzione è questa:
$...= \lim_{n \to infty}((n-1)/1*(n-1)/2*...*(n-1)/(n-1)*(n-1)/n)=+ infty$
in cui il risultato finale è dovuto al fatto che molte frazioni tendono ad infinito e nessuna a zero.

[Ale1521]

Ancora più semplicemente:
$\lim_{n\to\infty}((n-1)^n)/(n!)=\lim_{n\to\infty}((n(1-1/n))^n)/(n!)=\lim_{n\to\infty}(n^n(1+1/(-n))^(-n*-1))/(n!)=\lim_{n\to\infty}(n^n*e^(-1))/(n!).$
La costante non conta nulla, e $n^n$ è di ordine superiore a $n!$.

[piero_1]

"Ale152":[...]
La costante non conta nulla, e $n^n$ è di ordine superiore a $n!$.

esatto così come [size=150]$e^(n*ln(n-1))$[/size] è di ordine superiore a $n!$.
(speriamo sia leggibile giammaria)

[Ale1521]

"piero_":esatto così come [size=150]$e^(n*ln(n-1))$[/size] è di ordine superiore a $n!$.
(speriamo sia leggibile giammaria)

Solo che di $e^(n*\log(n-1))$ non ne conosci direttamente l'ordine, dovresti calcolartelo.
Di $n^n$ invece sai già che è superiore a $n!$, perché $(n!)=n*(n-1)*...*2*1$, mentre $n^n=n*n*...*n$.

[piero_1]

"Ale152":[quote="piero_"]esatto così come [size=150]$e^(n*ln(n-1))$[/size] è di ordine superiore a $n!$.
(speriamo sia leggibile giammaria)

Solo che di $e^(n*\log(n-1))$ non ne conosci direttamente l'ordine, dovresti calcolartelo.
Di $n^n$ invece sai già che è superiore a $n!$, perché $(n!)=n*(n-1)*...*2*1$, mentre $n^n=n*n*...*n$.[/quote]


non conosco l'ordine, però si può dire che: $lim_(t->+infty)e^t/(t!) =+infty$ perchè $lim_(t->+infty)e^t/(t^n) =+infty$ e $(t^n) >t!$
Questo, a meno di infinitesimi di ordine superiore, riportano i miei vecchi libri ingialliti dal tempo.