Limite con de l'hopital 2

[otakon]

la funzione è :

$ lim_{x \to \infty) (x^3-x^2)^(1/3)-x $

Se provo a raccogliere ottendendo il logaritmo di un rapporto di esponenziali mi complico sempre di più. Derive mi da come risultato -1/3. Come posso fare?

[giammaria2]

Razionalizza utilizzando la formula $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Arrivi ad una forma del tipo $oo/oo$ e puoi risolverla mettendo in evidenza $x^2$ oppure (ma è più lungo) con l'Hospital.

[otakon]

ok grazie

[DKant10]

Usando il fatto che $(1-1/x)^(1/3)~~1-1/(3x)$, allora valgono i seguenti passaggi:

$(x^3-x^2)^(1/3)-x=(x^3(1-1/x))^(1/3)-x=x(1-1/x)^(1/3)-x=x((1-1/x)^(1/3)-1)~~x(-1/(3x))=-1/3$

[@melia]

@ DKant10 Quest'area è dedicata alla scuola secondaria, dubito che qualcuno capisca i comportamenti asintotici, anche se il metodo è molto bello, temo che in quest'area sia inutile.

[theras]

Per quanto giustamente osservato da @melia,provo a rendere un pò più "potabile" quanto scritto da DKant:
$(x^3-x^2)^(1/3)-x=[x^3(1-1/x)]^(1/3)-x=..=x(1-1/x)^(1/3)-x=$
$=x[(1-1/x)^(1/3)-1]=-([1+(-1/x)]^(1/3)-1)/(-1/x)$ $AA x in RR setminus {0}rArr$
$rArrEElim_(x to oo)[(x^3-x^2)^(1/3)-x]=[+oo-oo]=lim_(t to 0) - ((1+t)^(1/3)-1)/t=-1/3$.
Saluti dal web.