Limite competitivo
Ho questo limite: $lim_(x->0)(xe^x-e^x+1)/(e^xsin^2x)$. Il limite si risolve banalmente applicando due volte Hopital e il risultatato è $1/2$, ma volevo vedere se qualcuno riesce a proporre una soluzione più originale, usando i limiti notevoli, sempre se sia possibile.
Risposte
ma è un pensiero tuo o sai già che si può fare ma non sai come?
Ma sei sicuro che quel limite faccia $1/2$ ?
Il limite è questo $ lim_(x->0) (x*e^x-e^x+1)/(x*e^x*(sin(x))^2) $ ?
Il limite è questo $ lim_(x->0) (x*e^x-e^x+1)/(x*e^x*(sin(x))^2) $ ?
"axpgn":
Ma sei sicuro che quel limite faccia $1/2$ ?
In effetti il limite scritto così non esiste
Si, scusate, ho sbagliato, c'era un $x$ di troppo al denominatore. Ho corretto nel post originale.
Coi limiti notevoli non credo si possa (a meno di fare cosacce complicate, su cui non vale nemmeno la pena stare a pensare troppo).
Infatti, al denominatore c’è robaccia che va a zero come $x^2$ mentre al numeratore c’è una roba che va a zero (per limite notevole) più velocemente di $x$ perché:
\[
\frac{x e^x - e^x + 1}{x} = e^x - \frac{e^x - 1}{x} \to 1 - 1 = 0\; ,
\]
ed i limiti notevoli non credo consentano di stimare l’ordine di infinitesimo meglio di così.
Già usando la formula di Taylor la cosa cambia e diventa banale.
Infatti, al denominatore c’è robaccia che va a zero come $x^2$ mentre al numeratore c’è una roba che va a zero (per limite notevole) più velocemente di $x$ perché:
\[
\frac{x e^x - e^x + 1}{x} = e^x - \frac{e^x - 1}{x} \to 1 - 1 = 0\; ,
\]
ed i limiti notevoli non credo consentano di stimare l’ordine di infinitesimo meglio di così.
Già usando la formula di Taylor la cosa cambia e diventa banale.
Ok, grazie gugo!
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