[Limite] Come trasformare per De l'Hospital?
Ciao a tutti, ho un paio di domande:
Devo calcolare questo limite:
$limx->+oo ((1+2^(1/x))/2)^x$
sono già arrivato alla "conclusione" che si ha una F.I. di questo tipo: $1^oo$
quindi: $limx->+oo ((1+2^(1/x))/2)^x=1^oo F.I.$
ma non so come trasformare per utilizzare De l' Hospital!
2domanda
Come si calcola la radice infinitesima di un numero? (sempre che sia corretto dire così). $oo\sqrt (1)
Grazieeeeeeeeee
Devo calcolare questo limite:
$limx->+oo ((1+2^(1/x))/2)^x$
sono già arrivato alla "conclusione" che si ha una F.I. di questo tipo: $1^oo$
quindi: $limx->+oo ((1+2^(1/x))/2)^x=1^oo F.I.$
ma non so come trasformare per utilizzare De l' Hospital!
2domanda
Come si calcola la radice infinitesima di un numero? (sempre che sia corretto dire così). $oo\sqrt (1)
Grazieeeeeeeeee
Risposte
Il due al denominatore può uscire dal segno di limite, quello che rimane puoi scriverlo come $e^{\ln[(1 + 2^{\frac{1}{x}})^x]} = e^{x \ln[1 + 2^{\frac{1}{x}}]}$
Ora calcola il limite dell'esponente, scrivendolo come: $\frac{\ln[1 + 2^{\frac{1}{x}}]}{\frac{1}{x}}$.
Ora calcola il limite dell'esponente, scrivendolo come: $\frac{\ln[1 + 2^{\frac{1}{x}}]}{\frac{1}{x}}$.
Se $k$ è una costante non negativa allora:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \root{x}{k} = \lim_{x \rightarrow +\infty} k^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\ln[k^{\frac{1}{x}}]} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{\ln(k)}{x}}$
L'esponente va a zero e il limite tende a uno.
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \root{x}{k} = \lim_{x \rightarrow +\infty} k^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\ln[k^{\frac{1}{x}}]} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{\ln(k)}{x}}$
L'esponente va a zero e il limite tende a uno.
Ti ringrazio moltissimo ed ho anche capito!(fatto straordinario)
Ma come al solito non capisco delle cose che magari possono essere banali, dunque hai detto
ma in base a cosa io posso farlo uscire?
(Devo capire sennò con altri esempi mi blocco).
Poi $"e"$di nepero viene messa per gustificare il $ln$??
Ti ringrazio ancora.
Ma come al solito non capisco delle cose che magari possono essere banali, dunque hai detto
"Tipper":
Il due al denominatore può uscire dal segno di limite
ma in base a cosa io posso farlo uscire?
(Devo capire sennò con altri esempi mi blocco).
Poi $"e"$di nepero viene messa per gustificare il $ln$??
Ti ringrazio ancora.
"Tipper":
Se $k$ è una costante non negativa allora:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \root{x}{k} = \lim_{x \rightarrow +\infty} k^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\ln[k^{\frac{1}{x}}]} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{\ln(k)}{x}}$
L'esponente va a zero e il limite tende a uno.
Ed a mio parere è interessante notare come non sia $1^infty=k$
"tropotronick":
Ti ringrazio moltissimo ed ho anche capito!(fatto straordinario)
Ma come al solito non capisco delle cose che magari possono essere banali, dunque hai detto [quote="Tipper"]Il due al denominatore può uscire dal segno di limite
ma in base a cosa io posso farlo uscire?
(Devo capire sennò con altri esempi mi blocco).
Poi $"e"$di nepero viene messa per gustificare il $ln$??
Ti ringrazio ancora.
[/quote]
Il due al denominatore può essere messo in evidenza fuori dal limite, tanto non dipende da $x$ (ripeto, non è che quel due va eliminato, va messo in evidenza fuori dal limite); per quanto riguarda l'altra domanda, se ho capito bene ciò che intendi, sì.
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