Limite che tende a pigreco mezzi

[mate15]

salve avrei un aiuto su come poter continuare questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite

[math]\lim_{x \to\frac{\pi }{2} }tan x\cdot \left ( e^{x-\frac{\pi }{2}} -1\right )[/math]

allora io ho iniziato in tal modo..
il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0.
quindi cambio la variabile e scrivo:

[math]x-\frac{\pi }{2}=t[/math]

e

[math]x=\frac{\pi }{2}+t[/math]

ed essendo quando

[math]x \to\frac{\pi }{2} [/math]

si ha che

[math]t \to 0 [/math]

e riscrivo il limite come segue:

[math]\lim_{t \to 0}tan\left ( \frac{\pi }{2} +t\right )\cdot \left ( e^{t}-1 \right )[/math]

ora non sò come continuare.. se mi potete aiutare..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ricorda che per riportarti ai famosi limiti notevoli puoi sempre moltiplicare
e dividere per quantità opportune. In questo caso, in particolare, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x \left(e^{x-\frac{\pi}{2}} - 1\right)
& = \lim_{t \to 0} \, \tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \left(e^{t} - 1\right) \\
& = \lim_{t \to 0} \, \tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \left(e^{t} - 1\right) \frac{t}{t} \\
& = \lim_{t \to 0} \, t\,\tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \cdot \lim_{t \to 0} \, \frac{e^{t} - 1}{t} \\
& = \dots
\end{aligned}\\
[/math]

e dalla teoria degli archi associati ricordando che

[math]\tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = - \frac{1}{\tan t}[/math]

,
puoi riportarti tranquillamente ai limiti notevoli come desiderato. ;)

[mate15]

quindi ricordando che i limiti notevoli

[math]\lim_{t \to 0}\frac{tan t}{t}=1[/math]

e

[math]\lim_{t \to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1[/math]

il nostro limite diventa uguale a

[math]-1\cdot 1=-1[/math]

è giusto???
fammi sapere..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Perfect. ;)

[mate15]

ok... un'ultima cosa mi potresti spiegare come
funziona la teoria degli archi associati..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

La circonferenza e' "tonda", quindi il valore del seno e del coseno si ripeteranno e scambieranno all'interno di essa in maniera tale da permetterci, talvolta, di sostituire ad un seno un coseno o viceversa. Con un semplice disegno non è difficile notare che

[math]\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right)= \cos t[/math]

e analogamente

[math]\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = - \sin t[/math]

. Dunque, dalla seconda relazione fondamentale della goniometria, si ha

[math]\tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)} =\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t = - \frac{1}{\tan t}[/math]

. :)