Limite ancora più difficile!

[Marko.19]

perdonatemi ma non sono capace a scriverli in altro modo.
limite per x tendente a zero di:
(e^tgx) - 1 - tgx
tutto elevato a:
4x + 1 - cosx

ho provato a sostituire gli infinitesimi equivalenti ma torno sempre ad una forma indeterminata. HELP ME!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[BIT5]

[math] \lim_{x \to 0}(e^{ \tan x}-1- \tan x)^{(4x+1- \cos x)} [/math]

e' questo il limite?

[aleio1]

non so se può andare bene così ma puoi scriverlo come:

[math] \lim_{x \to 0}\frac{(e^{ \tan x}-1- \tan x)^{(4x+1)}}{(e^{ \tan x}-1- \tan x)^{cos(x)}} [/math]

l'esponente del numeratore è 1 per x --> 0 ed anche quello del denominatore quindi hai il rapporto di due quantità uguali che è 1 senza curarti della forma indeterminata 0/0..ma sicuramente dirò una cazzata..

[Marko.19]

si il limite è quello!
grazie aleio1! qualche altra idea da qualcun altro?? giusto x essere sicuri

[issima90]

no aleio è giusto!!!

[Marko.19]

sicuri che si fa così? mi sembra troppo facile...

[issima90]

chiamalo facile..tu ci sei arrivato?

[ciampax]

aleio1:
non so se può andare bene così ma puoi scriverlo come:

[math] \lim_{x \to 0}\frac{(e^{ \tan x}-1- \tan x)^{(4x+1)}}{(e^{ \tan x}-1- \tan x)^{cos(x)}} [/math]

l'esponente del numeratore è 1 per x --> 0 ed anche quello del denominatore quindi hai il rapporto di due quantità uguali che è 1 senza curarti della forma indeterminata 0/0..ma sicuramente dirò una cazzata..

Bravo, hai detto una cazzata! :)

[Marko.19]

io avevo sostituito tgx con x, dato che sono due infinitesimi equivalenti in zero.. poi avevo sostituito 1-cosx con (x^2)/2 ... inoltre ho notato che compariva in questo modo (e^x)-1 che in zero equivale a x...Ma ottenevo sempre una forma indeterminata. A questo punto (visto ke mi sono rivolto anche ad un docente di matematica di scuola superiore che non ha saputo risolverlo) non mi resta altro da fare che sperare che al prossimo appello non compaia un limite simile!
grazie a tutti per la disponibilità :)

[ciampax]

Per risolvere questo limite è necessario usare gli sviluppi in serie di Taylor.
Sai cosa sono?

[aleio1]

ahah grazie ciampax..manon essere così brutale.. :)

[Marko.19]

mmmh, non credo si debbano utilizzare gli sviluppi in serie di taylor perchè questo limite ci è stato dato alla prova intercorso a gennaio (a metà del programma) mentre le serie le abbiamo fatte alla fine del programma (giugno). Comunque grazie lo stesso! :)

[ciampax]

Bè, con semplici passaggi elementari, non si può concludere molto su quel limite. Il fatto è che, usando il comportamento asintotico (vedi: limiti notevoli), avresti delle sostituzioni tipo

[math]e^{\tan x}-1\sim e^x-1\sim x,\qquad \tan x\sim x[/math]

e quindi la base della potenza risulta identicamente nulla (a meno di qualche

[math]o(x)[/math]

). Quindi o lo fai usando il successivo termine negli sviluppi di Taylor, o non credo ne vieni fuori.