Limite ambiguo
salve...
come mai il $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2+4x+1]-\sqrt[x^2-2x-3]) $
se lo svolgo così $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2(1+4/x+1/x^2)]-\sqrt[x^2(1-2/x-3/x^2)]) \approx lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2]-\sqrt[x^2])=0 $ sbaglio!
mentre svolgendolo $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2+4x+1]-\sqrt[x^2-2x-3])((\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]))/((\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]))= lim_{x \to \+infty} (6x+4)/(\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]) \approx lim_{x \to \+infty} (6x)/(2x) =3$ è corretto?
grazie per qualsiasi suggerimento!
come mai il $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2+4x+1]-\sqrt[x^2-2x-3]) $
se lo svolgo così $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2(1+4/x+1/x^2)]-\sqrt[x^2(1-2/x-3/x^2)]) \approx lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2]-\sqrt[x^2])=0 $ sbaglio!
mentre svolgendolo $ lim_{x \to \+infty} (\sqrt[x^2+4x+1]-\sqrt[x^2-2x-3])((\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]))/((\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]))= lim_{x \to \+infty} (6x+4)/(\sqrt[x^2+4x+1]+\sqrt[x^2-2x-3]) \approx lim_{x \to \+infty} (6x)/(2x) =3$ è corretto?
grazie per qualsiasi suggerimento!
Risposte
Beh, nel primo caso stai praticamente affermando che $ \infty - \infty = 0$, o al peggio che $0 \cdot \infty = 0$. Se raccogli ti viene:
$$ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} = 0 \cdot \infty $$
Essere $0$ e tendere a $0$ sono condizioni molto diverse. Dietro le tue considerazioni, c'è l'assunzione errata che $\sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } = 1 $; questo è vero soltanto per $x \to + \infty$, ma a quel punto ti ritrovi una forma indeterminata. E' corretto il secondo metodo.
$$ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} = 0 \cdot \infty $$
Essere $0$ e tendere a $0$ sono condizioni molto diverse. Dietro le tue considerazioni, c'è l'assunzione errata che $\sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } = 1 $; questo è vero soltanto per $x \to + \infty$, ma a quel punto ti ritrovi una forma indeterminata. E' corretto il secondo metodo.
ciao grazie per la risposta...in verità nel primo metodo gioco di approssimazione...
cioè $ per \ x->+infty \ sqrt[x^2+4x+1] \approx sqrt[x^2+o(x^2)] \approx x+o(x)$
stesso discorso per $ per \ x->+infty \ sqrt[x^2-2x-3] \approx sqrt[x^2+o(x^2)] \approx x+o(x)$
quindi $ \lim_{x \to \infty} ( sqrt[x^2+4x+1]-sqrt[x^2-2x-3]) \approx x+o(x)-x+o(x) \ approx o(x) ->0$
sicuramente faccio un errore in questo gioco di approsimazione...
cioè $ per \ x->+infty \ sqrt[x^2+4x+1] \approx sqrt[x^2+o(x^2)] \approx x+o(x)$
stesso discorso per $ per \ x->+infty \ sqrt[x^2-2x-3] \approx sqrt[x^2+o(x^2)] \approx x+o(x)$
quindi $ \lim_{x \to \infty} ( sqrt[x^2+4x+1]-sqrt[x^2-2x-3]) \approx x+o(x)-x+o(x) \ approx o(x) ->0$
sicuramente faccio un errore in questo gioco di approsimazione...
Beh, intanto stai facendo un uso improprio del simbolo di Landau e di cosa rappresenta. Stai parlando di quantità che vanno a $0$ più velocemente di $x$, nonostante $x$ si guardi bene dall'andare a $0$ quando se ne va a $+ \infty$. Ammesso che il tuo procedimento abbia senso, cosa su cui si protrebbe dibattere, il risultato è ben diverso da quello che credi di aver ottenuto. Hai ottenuto che quel limite è uguale a:
$$ \lim_{x \to + \infty}{\text{o} (x)} = \ ?$$
In altri termini:
$$\exists \ \varphi (x) \ : \ \lim_{x \to 0}{\frac{\varphi (x)}{x}} = 0 \implies \varphi (x) = \text{o} (x) $$
Quindi, hai ottenuto che il tuo limite è uguale a:
$$ \lim_{x \to + \infty}{\varphi (x)} $$
Non sappiamo niente di come si comporta [tex]\varphi (x)[/tex] quando $x \to + \infty$, quindi è impossibile arrivare alla soluzione a partire da quello.
Per ottenere la soluzione in un modo leggermente più vicino a quello che hai tentato di fare tu, bisogna usare le serie di Taylor. Una volta arrivati a:
\[ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} \]
si possono sviluppare le due radici con le serie di Taylor, ottenendo:
\[ \lim_{x \to + \infty }{{x} \left [1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}- 1 + \frac{1}{x} + \frac {3}{2 x^2} + \text{o} \left (\frac{1}{x^2} \right)\right ]} = \lim_{x \to + \infty} {\left [3 + \text{o} \left (\frac{1}{x} \right) \right ]} = 3\]
$$ \lim_{x \to + \infty}{\text{o} (x)} = \ ?$$
In altri termini:
$$\exists \ \varphi (x) \ : \ \lim_{x \to 0}{\frac{\varphi (x)}{x}} = 0 \implies \varphi (x) = \text{o} (x) $$
Quindi, hai ottenuto che il tuo limite è uguale a:
$$ \lim_{x \to + \infty}{\varphi (x)} $$
Non sappiamo niente di come si comporta [tex]\varphi (x)[/tex] quando $x \to + \infty$, quindi è impossibile arrivare alla soluzione a partire da quello.
Per ottenere la soluzione in un modo leggermente più vicino a quello che hai tentato di fare tu, bisogna usare le serie di Taylor. Una volta arrivati a:
\[ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} \]
si possono sviluppare le due radici con le serie di Taylor, ottenendo:
\[ \lim_{x \to + \infty }{{x} \left [1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}- 1 + \frac{1}{x} + \frac {3}{2 x^2} + \text{o} \left (\frac{1}{x^2} \right)\right ]} = \lim_{x \to + \infty} {\left [3 + \text{o} \left (\frac{1}{x} \right) \right ]} = 3\]
ti ringrazio...ho sbagliato proprio l'uso dell'o piccolo.
perdonami se continuo nel mio errore che non capisco
scrivendo il limite
$ lim_{x \to \+infty} x(\sqrt[1+4/x+1/x^2]-\sqrt[1-2/x-3/x^2])$
posso approssimarlo così
$ lim_{x \to \+infty} x(\sqrt[1+o(1/x)]-\sqrt[1+o(1/x)])$
e quindi ritrovarmi nella forma $ \infty 0$?
scrivendo il limite
$ lim_{x \to \+infty} x(\sqrt[1+4/x+1/x^2]-\sqrt[1-2/x-3/x^2])$
posso approssimarlo così
$ lim_{x \to \+infty} x(\sqrt[1+o(1/x)]-\sqrt[1+o(1/x)])$
e quindi ritrovarmi nella forma $ \infty 0$?
"Berationalgetreal":
Per ottenere la soluzione in un modo leggermente più vicino a quello che hai tentato di fare tu, bisogna usare le serie di Taylor. Una volta arrivati a:
\[ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} \]
si possono sviluppare le due radici con le serie di Taylor, ottenendo:
\[ \lim_{x \to + \infty }{{x} \left [1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}- 1 + \frac{1}{x} + \frac {3}{2 x^2} + \text{o} \left (\frac{1}{x^2} \right)\right ]} = \lim_{x \to + \infty} {\left [3 + \text{o} \left (\frac{1}{x} \right) \right ]} = 3\]
formale per formale, non bisogna effettuare un il cambio di variabile $t=1/x, \ per \ x->+infty \ text{allora} \ t->0$
quindi
$\lim_{t \to 0 }1/t ( \sqrt{ 1+4t -t^2} - \sqrt{1 - 2t - 3t^2})$ e applicare la serie di Mc Laurin?
Così già potrebbe avere più senso, ma difficilmente potresti arrivare a qualcosa, a meno che non usi Taylor. In generale, [tex]\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}[/tex]. Tieni presente che [tex]\text{o} (x) - \text{o} (x)[/tex] non fa $0$. Un controesempio è:
$$ x^2 = \text{o}(x), \ x^4 = \text{o} (x) \nRightarrow x^4 - x^2 = 0$$
Se provassi a razionalizzare quelle radici con la somma di due quadrati, otterresti una forma $0 \cdot \infty$, proprio per questo motivo.
$$ x^2 = \text{o}(x), \ x^4 = \text{o} (x) \nRightarrow x^4 - x^2 = 0$$
Se provassi a razionalizzare quelle radici con la somma di due quadrati, otterresti una forma $0 \cdot \infty$, proprio per questo motivo.
non si arriva a nulla infatti se non a verificare che si tratti di una forma indeterminata.
gli approcci rimangono o razionalizzazione o taylor.
ti ringrazio enormemente per questo dialogo costruttivo, mi hai levato un peso che mi portava da anni.
gli approcci rimangono o razionalizzazione o taylor.
ti ringrazio enormemente per questo dialogo costruttivo, mi hai levato un peso che mi portava da anni.
"claus93":
[quote="Berationalgetreal"]
Per ottenere la soluzione in un modo leggermente più vicino a quello che hai tentato di fare tu, bisogna usare le serie di Taylor. Una volta arrivati a:
\[ \lim_{x \to + \infty }{x \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac {3}{x^2} } \right )} \]
si possono sviluppare le due radici con le serie di Taylor, ottenendo:
\[ \lim_{x \to + \infty }{{x} \left [1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}- 1 + \frac{1}{x} + \frac {3}{2 x^2} + \text{o} \left (\frac{1}{x^2} \right)\right ]} = \lim_{x \to + \infty} {\left [3 + \text{o} \left (\frac{1}{x} \right) \right ]} = 3\]
formale per formale, non bisogna effettuare un il cambio di variabile $t=1/x, \ per \ x->+infty \ text{allora} \ t->0$
quindi
$\lim_{t \to 0 }1/t ( \sqrt{ 1+4t -t^2} - \sqrt{1 - 2t - 3t^2})$ e applicare la serie di Mc Laurin?[/quote]
Puoi fare tutti i cambi di variabili che vuoi, se ti rimane più comodo. Puoi anche porre [tex]x = \clubsuit[/tex] se ti rimane più comodo, la matematica non cambia in base ai simboli. Se preferisci porre $\frac{1}{x} = t$ per ricordarti che $t \to 0$, nessuno te lo impedisce. L'importante è agire con cautela quando si usa Taylor.
allora mi sfugge come si scrive un polinomio di taylor in un intorno all'infinito...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo