Limite abbastanza intricato
Salve a tutti, devo risolvere il seguente limite con Hopital: $lim_(x-> +oo) (e^x * sin(1/x))$... ovviamente devo mettere qualcosa a denominatore, ma mi escono sempre forme indeterminate! se metto l'e^x a denominatore mi uscirà sempre un infinito, ma anche se metto il seno! aiutatemi per favore:(
Risposte
Comincerei con un cambio di variabile, ponendo $y=1/x$, con $x->+oo$ sarà $y->0^+$, poi moltiplicherei il limite risultante per $y/y$ per ottenere
$lim_(y->0^+) e^(1/y)*sin y= lim_(y->0^+) (y*e^(1/y))*(sin y/y) $
Il primo fattore, puoi verificare con Hospital, viene $+oo$, mentre il secondo è un limite notevole.
$lim_(y->0^+) e^(1/y)*sin y= lim_(y->0^+) (y*e^(1/y))*(sin y/y) $
Il primo fattore, puoi verificare con Hospital, viene $+oo$, mentre il secondo è un limite notevole.
Ciao,
$$
e^{x} \left(\sin \frac{1}{x}\right) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{e^{x}}}
$$Applico l'Hopital e derivo numeratore e denominatore:
$$
\frac{\cos \frac{1}{x} \left(-x^{-2}\right)}{e^{-x} (-1)}
$$Quando passo al limite ottengo (la notazione non è accurata ma l'importante è capirsi)$$
\frac{1 \cdot \infty}{0 \cdot (-1)}
$$che non è indeterminato ma tende $\infty$.
$$
e^{x} \left(\sin \frac{1}{x}\right) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{e^{x}}}
$$Applico l'Hopital e derivo numeratore e denominatore:
$$
\frac{\cos \frac{1}{x} \left(-x^{-2}\right)}{e^{-x} (-1)}
$$Quando passo al limite ottengo (la notazione non è accurata ma l'importante è capirsi)$$
\frac{1 \cdot \infty}{0 \cdot (-1)}
$$che non è indeterminato ma tende $\infty$.
Ho visto che ha risposto anche @melia. Forse il suo metodo era più semplice... 
Però ho usato un cambio di variabile e tu no. Per gli studenti credo sia più semplice il tuo.
"@melia":
:D Però ho usato un cambio di variabile e tu no. Per gli studenti credo sia più semplice il tuo.
Forse hai ragione, ma apprezzo sempre l'eleganza! Il mio era più "brutale". Efficace ma forse un po' più... brutto.
Ma scusa ma $oo/0$ non è forma indeterminata?o.o
"Lucrezio":
Ma scusa ma $oo/0$ non è forma indeterminata?o.o
No. Devi pensare che $\infty$ al numeratore fa tendere la frazione a $\infty$ e che $0$ al denominatore fa tendere la frazione a $\infty$. Quindi numeratore e denominatore "collaborano" e fanno tendere la frazione a $\infty$.
Hai una forma indeterminata quando "uno tira da una parte e uno dall'altra", come nel caso $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$
Ah ok, sì effettivamente hai ragione... grazie mille!!!!
"Lucrezio":
Ah ok, sì effettivamente hai ragione... grazie mille!!!!
Prego!
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