Limite..

[essenza89]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere un limite semplice, ma che tuttavia mi ha messo un poì in crisi:
PREMETTO CHE QUESTO LIMITE DEVE VENIRE 1:
$\lim _{x\rightarrow \(pi/2)^-} tg(x)^(\sqrt{cos(x)}) $
io ho pensato di fare un cambio di variabili:
$y=x- pi/2 $ così che $ x\rightarrow \(pi/2)^(-) \Rightarrow y\rightarrow \0^- $
e il limite diventa:
$\lim _{y\rightarrow \0^-} tg(y+pi/2)^(\sqrt{cos(y+pi/2)}) $
ovvero
$\lim _{y\rightarrow \0^-} -cot(y)^(\sqrt{-siny}) $
poi mi sono detta:
$= \lim _{y\rightarrow \0^-} e^(ln(-cot(y)^(\sqrt{-siny}))) = \lim _{y\rightarrow \0^-} e^(ln(-cot(y))*\sqrt{-siny}) $
quindi devo studiare il limite:
$\lim _{y\rightarrow \0^-} ln(-cot(y))*\sqrt{-siny} $
a questo punto, ho fatto:
$\lim _{y\rightarrow \0^-} ln(-cos(y)/sin(y))*\sqrt{-siny} = \lim _{y\rightarrow \0^-} (ln(cos(y))-ln(-sin(y)))*\sqrt{-siny} $
ma da qui non riesco più ad andar avanti..
.DOVE SBAGLIO?
grazie mille in anticipo!

[theras]

"essenza89":Salve a tutti, sto cercando di risolvere un limite semplice, ma che tuttavia mi ha messo un poì in crisi:
PREMETTO CHE QUESTO LIMITE DEVE VENIRE 1:
$\lim _{x\rightarrow \(pi/2)^-} tg(x)^(\sqrt{cos(x)}) $
io ho pensato di fare un cambio di variabili:
$y=x- pi/2 $ così che $ x\rightarrow \(pi/2)^(-) \Rightarrow y\rightarrow \0^- $
e il limite diventa:
$\lim _{y\rightarrow \0^-} tg(y+pi/2)^(\sqrt{cos(y+pi/2)}) $
ovvero
$\lim _{y\rightarrow \0^-} -cot(y)^(\sqrt{-siny}) $
poi mi sono detta:
$= \lim _{y\rightarrow \0^-} e^(ln(-cot(y)^(\sqrt{-siny}))) =cdots$

.
E fino a quì è inappuntabile
(la scelta del metodo poteva essere un pò diversa ma,tutto sommato,
hai preferito andare sul sicuro in un esercizio un pò ostico,
e và benissimo così!);
solo che poi hai portato l'esponente dell'argomento del logaritmo a dividere,
e non a moltiplicare come avresti dovuto:
rifà insomma i conti partendo da $lim_(y->0^-)sqrt(-seny)*ln(-text{cotgt})=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*ln(text{cotgt})=$
$=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*ln(1/text{tgt})=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*(-lntext{tg}t)=$
$=lim_(t->0^+)sqrt(sent)/sqrt(text{tgt})*[-2sqrt(text{tgt})*ln(text{tgt})^(1/2)]=cdots$,
e buon lavoro.
Saluti dal web.

[essenza89]

"theras":
E fino a quì è inappuntabile
(la scelta del metodo poteva essere un pò diversa ma,tutto sommato,
hai preferito andare sul sicuro in un esercizio un pò ostico,
e và benissimo così!);
solo che poi hai portato l'esponente dell'argomento del logaritmo a dividere,
e non a moltiplicare come avresti dovuto:
rifà insomma i conti partendo da $lim_(y->0^-)sqrt(-seny)*ln(-text{cotgt})=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*ln(text{cotgt})=$
$=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*ln(1/text{tgt})=lim_(t->0^+)sqrt(sent)*(-lntext{tg}t)=$
$=lim_(t->0^+)sqrt(sent)/sqrt(text{tgt})*[-2sqrt(text{tgt})*ln(text{tgt})^(1/2)]=cdots$,
e buon lavoro.
Saluti dal web.

grazie mille, proseguendo il problema come l'hai impostato tu mi viene!
mi ha incuriosito il fatto che hai detto che ci sarebbe un metodo più veloce... sono molto interessata perchè il mio problema è proprio la lentezza nel fare gli esercizi, per questo ne sto facendo tanti... e sto cercando modi nuovi e più veloci per svolgerli, quindi, se hai voglia, non è che potresti suggerirmi il modo più veloce (e meno intricato)?
grazie in anticipo!

[theras]

Ciao!
Ottimo proposito,il tuo,
e per quel che posso ti vengo incontro dicendoti che nel caso specifico io avrei intanto osservato che
$text{tgx}^sqrt(cosx)=(text{tg}^2x)^(1/2sqrt(cosx))$;
a quel punto magari ponevi $t=sqrt(cosx)$ e,ricordando che $text{tg}^2x=1/(cos^2x)-1$,
avrei ricondotto la funzione che stai passando al limite ad una forma polinomiale un pò più "potabile":
ma in fondo è equivalente a come hai proseguito tu,
e la verità è che questo calcolo è un pò laborioso se non si possono sfruttare quei concetti d'ordine d'infinitesimi ed infiniti che credo tu non abbia ancora trattato.
Saluti dal web.