Limite
Salve, volevo un parere sull' esattezza o meno delle seguenti considerazioni:
sia $|q|<1$, e considero il seguente prodotto $(1+q+q^2+....q^n)(1-q)$ sviluppando ottengo $1-q^(n+1)$ e per $n$ tendente ad infinito essendo che $|q|<1$ il valore del limite di questo prodotto sarà evidentemente $1$;
idem se ho $(1-q+q^2-q^3+...q^n)(1+q)$ sempre con $|q|<1$;
ora sempre con $|q|<1$, se considero il seguente prodotto $(1+2q+3q^2+4q^3+....+(n+1)q^n)(1-q)^2$ sviluppando otterrò sempre per $n$ tendente ad infinito il limite $1$, e così sarà anche per il prodotto :
$(1-2q+3q^2-4q^3+...(n+1)q^n)(1+q^2)$, mi sbaglio?
sia $|q|<1$, e considero il seguente prodotto $(1+q+q^2+....q^n)(1-q)$ sviluppando ottengo $1-q^(n+1)$ e per $n$ tendente ad infinito essendo che $|q|<1$ il valore del limite di questo prodotto sarà evidentemente $1$;
idem se ho $(1-q+q^2-q^3+...q^n)(1+q)$ sempre con $|q|<1$;
ora sempre con $|q|<1$, se considero il seguente prodotto $(1+2q+3q^2+4q^3+....+(n+1)q^n)(1-q)^2$ sviluppando otterrò sempre per $n$ tendente ad infinito il limite $1$, e così sarà anche per il prodotto :
$(1-2q+3q^2-4q^3+...(n+1)q^n)(1+q^2)$, mi sbaglio?
Risposte
Non sbagli. Gli ultimi due prodotti non sono intuitivi e non so che ragionamento hai fatto, ma le conclusioni che dici sono esatte.
mah, il ragionamento che faccio è sempre il medesimo, per tutti i casi, in particolare nel caso $(1+2q+3q^2+4q^3+....(n+1)q^n)(1-2q+q^2)$ sviluppando si ha :
$(1+ 2q+ 3q^2 +4q^3+.................. ....+(n+1)q^n)+$
$(-2q-4q^2-6q^3-.................-2nq^n -2(n+1)q^(n+1))+$
$(q^2+2q^3+3q^4+.....(n-1)q^n+nq^(n+1)+(n+1)q^(n+2)$
facilmente si osserva che raccogliendo opportunamente molti termini si annullano $(2q-2q)+(3q^2-4q^2+q^2)+........+ (n+1)q^n-2nq^n+(n-1)q^n=0$, I termini rimanenti sono $1-2(n+1)q^(n+1)+nq^(n+1)+(n+1)q^(n+2)$, e passando al limite per $n$ tendente ad infinito a parte $1$ gli altri termini tendono a zero, pertanto il limite risulterà $1$, mi sbaglio?
$(1+ 2q+ 3q^2 +4q^3+.................. ....+(n+1)q^n)+$
$(-2q-4q^2-6q^3-.................-2nq^n -2(n+1)q^(n+1))+$
$(q^2+2q^3+3q^4+.....(n-1)q^n+nq^(n+1)+(n+1)q^(n+2)$
facilmente si osserva che raccogliendo opportunamente molti termini si annullano $(2q-2q)+(3q^2-4q^2+q^2)+........+ (n+1)q^n-2nq^n+(n-1)q^n=0$, I termini rimanenti sono $1-2(n+1)q^(n+1)+nq^(n+1)+(n+1)q^(n+2)$, e passando al limite per $n$ tendente ad infinito a parte $1$ gli altri termini tendono a zero, pertanto il limite risulterà $1$, mi sbaglio?
E' tutto giusto e ti faccio i miei complimenti. Temo però che fra i lettori più attenti saranno molti a chiedersi come hai fatto a pensarci e se il tuo "facilmente si osserva che ..." è davvero sempre vero. Non devi convincere me, ma loro.
Si hai ragione , forse il facilmente si osserva non é del tutto appropriato , le considerazioni che ho riportato nascono dall'avere notato su un testo, per giunta di matematica divulgativa,una serie di esercizi dove si proponeva al lettore di dimostrare che, sempre per $n$ tendente ad infinito , e per $|q|<1$, si ha:
$1+q+q^2+....q^n=1/(1+q)$.
$1+2q+3q^2+4q^3+..(n+1)q^n=1/(1-q)^2$;
da qui sono riuscito ad ottenere che il limite della serie $1-2q+3q^2-4q^3+......$ è $1/(1+q)^2$, di quest'ultimo esercizio, a differenza dei precedenti, il testo però non riportava il risultato per cui ho deciso di postare il tutto per avere
conferma del risultato che avevo ottenuto, come si può vedere non c'è nulla di complicato!
Grazie comunque per le risposte!
$1+q+q^2+....q^n=1/(1+q)$.
$1+2q+3q^2+4q^3+..(n+1)q^n=1/(1-q)^2$;
da qui sono riuscito ad ottenere che il limite della serie $1-2q+3q^2-4q^3+......$ è $1/(1+q)^2$, di quest'ultimo esercizio, a differenza dei precedenti, il testo però non riportava il risultato per cui ho deciso di postare il tutto per avere
conferma del risultato che avevo ottenuto, come si può vedere non c'è nulla di complicato!
Grazie comunque per le risposte!
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