Limitazione trigonometrica

[Bruno13]

Per ogni valore reale dell'argomento, dimostrare che:




(Vabbe'... purtroppo, l'immagine mi è venuta un po' grande,
ora però non ho tempo per modificarla.)

Un saluto a tutti

[Celine2]

$(sin alpha +cos alpha)^2 = 1+sin 2alpha$
$cos3alpha = cos( 2alpha+alpha)=cos2alphacosalpha-sin2alphasinalpha$
$sin3alpha = sin (2alpha+alpha) = sin2alphacosalpha + cos2alphasinalpha$
Effettuando queste sostituzioni e considerando successivamente che:

$cos2alpha=2cos^{2}alpha-1=1-2sin^{2}alpha$

si arriva dopo semplici calcoli alla seguente espressione per la disuguaglianza scritta:

$sin^{3}2alpha(2-sin2alpha)^3-1 leq0$

Con un sostituzione

$t^3(2-t)^3-1 leq 0$

ovvero dopo altri semplici passaggi

$(t-1)^2(t^4-4t^3+3t^2+2t+1) geq0$

Per il polinomio di quarto grado, studiandone la derivata prima, i limiti si osserva che assume solo valori positivi per ogni $t$, il resto dovrebbe essere immediato....

[Sk_Anonymous]

Direi che la cosa si puo' semplificare al seguente modo.
Applicando le triplicazioni e sviluppando, l'espressione a 1° membro diventa:
$16sin^3alphacos^3alpha[2-sin2alpha]^3=2[sin2alpha(2-sin2alpha)]^3$
Osserviamo ora che e' certamente $2-sin2alpha>0$.
Pertanto se $sin2alpha<=0$ (3° e 4° quadrante) la diseguaglianza e' senz'altro verificata
dato che l'espressione risulta $<=0$.Se invece $sin2alpha>0$ (1° e 2 quadrante)
allora ,osservando che $sin2alpha+2-sin2alpha=2=costante$,per una
nota regola il prodotto sara' massimo quando $sin2alpha=2-sin2alpha=>sin2alpha=1$
Per tale valore il massimo raggiungibile dall'espressione diventa =2.
c.v.d.
karl
@Bruno.
Bruno non mi copiare i titoli dei post

[Bruno13]

Bravi
Vi risparmio la mia procedura perché... ho inventato questa
disuguaglianza in un momento di noia (per fortuna non mi
annoio quasi mai!) e quindi sarei condizionato dal principio
'costruttivo' che ho seguito.

"Karl":Bruno non mi copiare i titoli dei post

...clack (rumor di tacchi) e braccia stese lungo i fianchi