$lim_(x->0^+) sin x^(-1/ln x)$

[DavideGenova1]

Cari amici,
mi stavo divertendo a calcolare alcuni limiti, quando mi sono imbattuto in questo, che secondo il mio Istituzioni di Matematica (che leggo da autodidatta: al liceo classico non mi è stato insegnato nulla di nulla di analisi matematica) è $e^-1$, e che non riesco in nessun modo a risolvere, se non ottenendo sempre "fastidiose" forme indeterminate:
$lim_(x->0^+) (1/(sin x))^(1/ln x)$
La regola di L'Hôpital direi che non si possa applicare perché la derivata del denominatore $((sin x)^(1/ln x))^´$ non è sempre diversa da 0. Non so più che fare, perché non so come comportarmi con l'esponente... Vi risparmio l'orrore di vedere tutti i calcoli inutilmente complicati con cui ho riempito svariati foglietti evitando di trascriverli qui, ché tutti mi portavano a soluzioni indeterminate...
Grazie a tutti per ogni aiuto che mi possiate dare... e buona estate!
Davide

[DavideGenova1]

Eureka, credo, dando un'occhiata ai miei calcoli intanto che guardavo un documentario sullo sviluppo dell'embrione umano...
Dato che $lim_(x->0) (sin x)/x = 1$, direi che $lim_(x->0) ((sin x)/x)^(1/(ln x)) = (lim_(x->0) (sin x)/x)^(1/(ln x)) = 1$. Quindi
$lim_(x->0^+) (1/(sin x))^(1/ln x) = (lim_(x->0) (sin x)/x)^(1/(ln x)) lim_(x->0^+) (1/(sin x))^(1/ln x) = lim_(x->0^+) 1/(x^(1/(ln x))) = lim_(x->0^+) 1/((e^(ln x))^(1/(ln x))) = e^(-1)$
Ciao a tutti!!!

[Steven11]

Calma.

"DavideGenova":
Dato che $lim_(x->0) (sin x)/x = 1$, direi che $lim_(x->0) ((sin x)/x)^(1/(ln x)) = (lim_(x->0) (sin x)/x)^(1/(ln x)) = 1$.

Questo passaggio è da chiarire assolutamente.
Praticamente stai passando al limite sotto la base della potenza, e l'esponente lo lasci fuori. La cosa ha poco senso davvero.

Se si potesse fare una cosa simile, allora varrebbe

$lim_(x->+oo) (1+\frac{1}{x})^x = (lim_(x->0)(1+\frac{1}{x}))^x = 1$

Magari non ci hai pensato, ma scrivendo così stai tenendo fuori $ln x$ dal limite.

Ad ogni modo, questo passaggio
$lim_(x->0^+) 1/(x^(1/(ln x))) = lim_(x->0^+) 1/((e^(ln x))^(1/(ln x))) = e^(-1)$
è giusto.
D'altra parte potevi subito passare a $x$ da $sinx$, quindi l'esercizio, malgrado l'erroraccio, è risolto.

Ciao!

[DavideGenova1]

Ciao, Steven, e grazie mille per la correzione!!!
È vero, che erroraccio!!! : ponendo $\lim_{x \to x_0}g(x) = L_g$ si ha che $\lim_{x \to x_0}f(x)^(g(x)) = (\lim_{x \to x_0}f(x))^(L_g)$, ma NON CHE $\lim_{x \to x_0}f(x)^(g(x)) = (\lim_{x \to x_0}f(x))^(g(x))$.
Sono arrivato alla conclusione giusta per una via sbagliatissima. Dovevo semplicemente rendermi conto del fatto che $x rarr 0 rArr sin x rarr 0$ e quindi $\lim_{x \to 0}sin x =x$ ...
Ciao, buona estate e grazie di cuore di nuovo!
Davide

[G.D.5]

Attenzione.
Mica è detto che se [tex]$ \lim_{x \to x_{0}}g(x)=\alpha[/tex] allora [tex]$\lim_{x\to x_{0}}f(x)^{g(x)}=\left(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{\alpha}[/tex]: metti caso ed è [tex]$ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=1 \land \lim_{x\to x_{0}}g(x)=\infty[/tex].
Attenzione anche a scrivere cose del tipo [tex]$\lim_{x\to x_{0}}\sin(x)=x[/tex]: non significa granché.

[pasplu]

Io proverei con la trasformazione:

$e^logsinx^(-1/logx)$

da cui:

$e^(-logsinx/logx)$

Applicando la regola di L'Hopital per x che tende a $0^+$ mi dà 1

infatti $(cosx/sinx)*x$ dà 1 come limite.

In definitiva abbiamo $e^(-1)$

[DavideGenova1]

Carissimi amici: grazie per tutte le precisazioni, i consigli e le opportunità di imparare di più!!!
Uh, sì, è sbagliato scrivere $lim_(x->0) sin x = x$ ... Si può piuttosto scrivere $lim_(x->0) sin x = lim_(x->0) x$?
Grazie ancora a tutti!!!

[Steven11]

"DavideGenova":Si può piuttosto scrivere $lim_(x->0) sin x = lim_(x->0) x$?

Questo sì di certo: infatti entrambe le quantità valgono $0$ da cui l'uguaglianza.

[DavideGenova1]

Grazie ancora, Steven, Wizard e pasplu, e grazie a tutti quanti!!!!!