$\lim_{n\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$
Buonasera a tutti.
Sono capitato per caso in questo vecchio topic
https://www.matematicamente.it/forum/lim ... html#62427
dove ho trovato una dimostrazione dell'utente DavidHilbert riguardo questo limite.
La riporto:
-------------
Mostreremo che, per ogni reale $a > 0$, vale $\lim_{n\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$.
Fissato $a \in \mathbb{R}^+$, sia infatti $k$ il massimo intero $\le a$. Allora $a^n < (k+1)(k+2)...(k+n) = \frac{(n+k)!}{k!}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Ne seguita che $0 \le \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!} = a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k} = 0$, di modo che $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$, per via dello squeeze
principle (aka teorema dei due carabinieri).
-------------
Ecco, io non riesco a giustificare il seguente passaggio:
$a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k}
Infine credo che
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$
perché semplicemente $n+k\approx n$ se $n->infty$
Che ne dite?
Grazie per l'attenzione, buona domenica a tutti!
Ciao.
Sono capitato per caso in questo vecchio topic
https://www.matematicamente.it/forum/lim ... html#62427
dove ho trovato una dimostrazione dell'utente DavidHilbert riguardo questo limite.
La riporto:
-------------
Mostreremo che, per ogni reale $a > 0$, vale $\lim_{n\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$.
Fissato $a \in \mathbb{R}^+$, sia infatti $k$ il massimo intero $\le a$. Allora $a^n < (k+1)(k+2)...(k+n) = \frac{(n+k)!}{k!}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Ne seguita che $0 \le \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!} = a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k} = 0$, di modo che $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$, per via dello squeeze
principle (aka teorema dei due carabinieri).
-------------
Ecco, io non riesco a giustificare il seguente passaggio:
$a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k}
Infine credo che
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$
perché semplicemente $n+k\approx n$ se $n->infty$
Che ne dite?
Grazie per l'attenzione, buona domenica a tutti!
Ciao.
Risposte
"Steven":
Ecco, io non riesco a giustificare il seguente passaggio:
$a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k}
Poiché $a^n < (k+1)(k+2)...(k+n) = \frac{(n+k)!}{k!}$, allora
$a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!}
Infine credo che
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$
perché semplicemente $n+k\approx n$ se $n->infty$
sì.
Perfetto.
Grazie per la risposta, buona serata e buon week-end.
Ciao!
Grazie per la risposta, buona serata e buon week-end.
Ciao!
"Steven":
Infine credo che
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$
perché semplicemente $n+k\approx n$ se $n->infty$
Visto che ti diverti a fare queste cose, ti faccio un regalino per domenica.
Potresti definire cosa intendi con $n+k\approx n$ se $n->infty$
Fatto questo potresti precisare cosa vuol dire: $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$, nel senso di precisare quali ipotesi fai sull'esistenza del limite (di quale limite? Di uno, di entrambi?).
E, una volta esplicitata la condizione e la tesi, provare che effettivamente segue dalla condizione indicata.
Ciao!
O mio Dio, non ci ho capito niente...e queste sono cose delle superiori?
Ciao,
In che senso "queste cose"? Quali cose?
Sissignore.
Intendo dire che
$lim_(nto +oo)\frac{n+k}{n}=1$ con $k$ costante, ovviamente.
Mi sollevi un problema: infatti giusto dopo averti letto facevo caso a una cosa, non so se ti riferisci a questo.
Ammettendo che esista e sia finito, sia
$L=lim_(nto +infty) \frac{a^n}{n!}$
Allora posso dire che(1)
$lim_(nto +infty) \frac{a^(n+k)}{(n+k)!}=lim_(nto +oo)\frac{a^n}{n!}*\frac{a^k}{(n+k)*(n+k-1)*...*(n+1)}=L*0=0$
Ora: affinché i due limiti siano uguali, dovrebbe essere $L=0$.
Purtroppo il caso strano della vita vuole che è proprio questo che bisogna dimostrare, quindi
Però pensandoci potrei anche dire, più brutalmente
$lim_(nto +infty) \frac{a^(n+k)}{(n+k)!}=lim_(mto +infty) \frac{a^m}{m!}=L$ (2)
perché è come se avessi solo cambiato nome alla variabile, anche se non ho considerato il legame tra $n$ e $m$, ovvero
$m=n+k$
Basterebbe questo per affermare che quindi $L=0$, vista l'equivalenza tra la (1) e la (2) ?
Spero di essermi spiegato, grazie per l'intervento.
Ciao.
"Fioravante Patrone":
Visto che ti diverti a fare queste cose
In che senso "queste cose"? Quali cose?
"Fioravante Patrone":
Potresti definire cosa intendi con $n+k\approx n$ se $n->infty$
Sissignore.
Intendo dire che
$lim_(nto +oo)\frac{n+k}{n}=1$ con $k$ costante, ovviamente.
"Fioravante Patrone":
Fatto questo potresti precisare cosa vuol dire: $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!}$, nel senso di precisare quali ipotesi fai sull'esistenza del limite (di quale limite? Di uno, di entrambi?).
Mi sollevi un problema: infatti giusto dopo averti letto facevo caso a una cosa, non so se ti riferisci a questo.
Ammettendo che esista e sia finito, sia
$L=lim_(nto +infty) \frac{a^n}{n!}$
Allora posso dire che(1)
$lim_(nto +infty) \frac{a^(n+k)}{(n+k)!}=lim_(nto +oo)\frac{a^n}{n!}*\frac{a^k}{(n+k)*(n+k-1)*...*(n+1)}=L*0=0$
Ora: affinché i due limiti siano uguali, dovrebbe essere $L=0$.
Purtroppo il caso strano della vita vuole che è proprio questo che bisogna dimostrare, quindi
Però pensandoci potrei anche dire, più brutalmente
$lim_(nto +infty) \frac{a^(n+k)}{(n+k)!}=lim_(mto +infty) \frac{a^m}{m!}=L$ (2)
perché è come se avessi solo cambiato nome alla variabile, anche se non ho considerato il legame tra $n$ e $m$, ovvero
$m=n+k$
Basterebbe questo per affermare che quindi $L=0$, vista l'equivalenza tra la (1) e la (2) ?
Spero di essermi spiegato, grazie per l'intervento.
Ciao.
"Steven":
[quote="Fioravante Patrone"]Potresti definire cosa intendi con $n+k\approx n$ se $n->infty$
Intendo dire che
$lim_(nto +oo)\frac{n+k}{n}=1$ con $k$ costante, ovviamente.[/quote]
Ok.
Sei tu che usi la notazione e al massimo ti si puo' solo chiedere, come ho fatto io, cosa tu intenda.
Presumo tu voglia dire questo, in termini generali:
date due successioni di numeri reali $a = (a_n)_(n \in NN)$ e $b = (b_n)_(n \in NN)$, dico che:
$a \approx b$ se:
- esiste il limite di:
$\lim_(n to oo) \frac{a_n}{b_n}$
- tale limite vale 1
Nel tuo caso, $a_n = n$ e poi $b_n = n+k$ ($k \in NN$ dato).
Ma torniamo al caso generale e alla giustificazione di cio' che hai detto.
Tu a questo punto sei moralmente obbligato a dimostrare che:
Data una successione $c_n$, e date due successioni $a$ e $b$ con $a \approx b$, c'e' un qualche legame tra i due limiti seguenti:
$\lim_(n to oo) c_(a_n)$ e $\lim_(n to oo) c_(b_n)$.
Buona domenica (la giornata e' ancora lunga!)
A handball_mania:
Col tuo avatar e il tuo commento: "O mio Dio, non ci ho capito niente...e queste sono cose delle superiori?" mi sembra di vederti sbattere le ciglia dei tuoi begli occhioni blu cui i tuoi magnifici biondi capelli fanno da cornice.
Sono cose delle superiori? Beh, sono "borderline". Nel senso che un bravo studente delle superiori riesce a lavorarci su. Uscendone sudaticcio se incontra sulla strada un rompi come me, ma gli strumenti tecnici a disposizione li ha. Di solito lo standard alle superiori consente di cavarsela con meno. Soprattutto in termini di precisione di linguaggio.
Fioravante ti prego, per il bene di Steven, che è un mio amico oltre che un mio compagno di classe, di non tentarlo con dimostrazioni di matematica di vario genere. E' opportuno che egli ripassi anche le altre materie, se tu gli proponi strani quesiti lui potrebbe dedicarsi eccessivamente a questi tralasciando le altre discipline.Ti prego quindi di non provocarlo fino alla fine di questi esami 
.
.
"nox89":
Fioravante ti prego, per il bene di Steven, che è un mio amico oltre che un mio compagno di classe, di non tentarlo con dimostrazioni di matematica di vario genere. E' opportuno che egli ripassi anche le altre materie, se tu gli proponi strani quesiti lui potrebbe dedicarsi eccessivamente a questi tralasciando le altre discipline.Ti prego quindi di non provocarlo fino alla fine di questi esami
Lasciami difendermi un poco: non gli sto proponendo quesiti strani. Chiedevo solo precisazioni rispetto ad affermazioni che aveva fatto lui. Di modo che lui (ma non solo lui...) sapesse come sa di sale lo pane altrui.
Ma hai ragione, comunque. Ubbidisco. Mi taccio fino a dopo la maturita'
"Fioravante Patrone":
A handball_mania:
Col tuo avatar e il tuo commento: "O mio Dio, non ci ho capito niente...e queste sono cose delle superiori?" mi sembra di vederti sbattere le ciglia dei tuoi begli occhioni blu cui i tuoi magnifici biondi capelli fanno da cornice.
Sono cose delle superiori? Beh, sono "borderline". Nel senso che un bravo studente delle superiori riesce a lavorarci su. Uscendone sudaticcio se incontra sulla strada un rompi come me, ma gli strumenti tecnici a disposizione li ha. Di solito lo standard alle superiori consente di cavarsela con meno. Soprattutto in termini di precisione di linguaggio.
Diciamo che ho gli occhi verdi e sono bruna... mi dispiace svegliarti dal sogno
Per quanto riguarda il topic, capisco che dovremmo avere le basi per lavorarci su, ma una cosa è certa....io ci avrei messo un bel po'. Mi sa tanto che non mi iscriverò a matematica
Povera me...
"handball_mania":
Diciamo che ho gli occhi verdi e sono bruna... mi dispiace svegliarti dal sogno
Piccolo OT
Anche gli occhi verdi sono belli, al pari dei blu.
Ovviamente, IMHO.
Ma hai ragione, comunque. Ubbidisco. Mi taccio fino a dopo la maturita'
Annuisco come un bambino giudizioso che deve prendere l'amara medicina, conscio che è per il suo bene.
Ma riesumerò il topic appena verrà il tempo giusto.
Spero di trovarti nuovamente qui
"Steven":
Spero di trovarti nuovamente qui
Oddio, lo spero veramente anch'io!!!!
Piu' di te, credo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo