Le misteriose soluzioni di una disequazione goniometrica
Vi propongo il seguente esercizio. Vi fornisco la mia risoluzione così potrete (spero 
) chiarirmi questi due dubbi che mi sono sorti.
Sia da risolvere
$(tanx+sqrt3)(2cos^2x-1)\<=0$
E’ una disequazione goniometrica, scritta sotto forma di prodotto. Notiamo subito che i due fattori, o meglio, le funzioni goniometriche che compaiono nei due fattori hanno lo stesso periodo $\pi$. (Primo dubbio: è vero quello che ho appena detto? Il $T$ di $tanx$ è ovviamente $\pi$; anche quello di $cos^2x$ è $\pi$? Se è così, allora anche $sin^2x$ ha periodo $\pi$, vero?)
Al di là di queste considerazioni, proponiamoci di risolvere la disequazione data nell’intervallo $[0,\pi]$ con (per l’esistenza della tangente) $x \ne \pi/2$.
Procediamo come al solito, studiando separatamente il segno dei due fattori:
$\mbox{Primo fattore:} tanx+sqrt3>=0 =>
$tanx>=-sqrt3 =>$
$0<=x
$\mbox{Secondo fattore:} 2cos^2x - 1>=0$
Usando un’incognita ausiliaria:
$2t^2-1>=0 =>$
$t<=-sqrt2/2 \mbox{ } \v \mbox{ } t>=sqrt2/2$
Tornando indietro:
$cosx<=-sqrt2/2 => 3/4\pi <=x<=pi $
$cosx>=sqrt2/2 => 0<=x<=pi/4$
Facendo il classico quadro riassuntivo – che qui non riporto – si trovano gli intervalli in cui la dis è verificata (in pieno accordo con il libro!)
${S}={\frac{pi}{4} <= x < \frac{pi}{2} \mbox{ } \v \mbox{ } \frac{2pi}{3}<=x<=\frac{3pi}{4}}
Ora, scusatemi, ma perché $x=0$ ($x=pi$) non è soluzione? Nel quadro che ho fatto per studiare il segno dei due fattori risultano entrambi compresi (se vogliamo usare il “gergo” scolastico diremmo che sono entrambi “pallini pieni”); quindi, siccome mi venivano richiesti dalla disequazioni i valori per cui il primo membro era minore o uguale pensavo bisognasse includere anche questi. Ma vi invito a verificare – in maniera un po’ empirica – che questi valori non sono soluzioni della disequazione data (infatti, per $x=0$ si ha: $(0 +sqrt3)(1) = sqrt3$ che non è né uguale né minore di zero).
Qualche anima pia mi può gentilmente spiegare questa “apparente” incongruenza? Dove sta l’errore? Come al solito un grazie in anticipo.
Grazie,
Paolo
) chiarirmi questi due dubbi che mi sono sorti. Sia da risolvere
$(tanx+sqrt3)(2cos^2x-1)\<=0$
E’ una disequazione goniometrica, scritta sotto forma di prodotto. Notiamo subito che i due fattori, o meglio, le funzioni goniometriche che compaiono nei due fattori hanno lo stesso periodo $\pi$. (Primo dubbio: è vero quello che ho appena detto? Il $T$ di $tanx$ è ovviamente $\pi$; anche quello di $cos^2x$ è $\pi$? Se è così, allora anche $sin^2x$ ha periodo $\pi$, vero?)
Al di là di queste considerazioni, proponiamoci di risolvere la disequazione data nell’intervallo $[0,\pi]$ con (per l’esistenza della tangente) $x \ne \pi/2$.
Procediamo come al solito, studiando separatamente il segno dei due fattori:
$\mbox{Primo fattore:} tanx+sqrt3>=0 =>
$tanx>=-sqrt3 =>$
$0<=x
$\mbox{Secondo fattore:} 2cos^2x - 1>=0$
Usando un’incognita ausiliaria:
$2t^2-1>=0 =>$
$t<=-sqrt2/2 \mbox{ } \v \mbox{ } t>=sqrt2/2$
Tornando indietro:
$cosx<=-sqrt2/2 => 3/4\pi <=x<=pi $
$cosx>=sqrt2/2 => 0<=x<=pi/4$
Facendo il classico quadro riassuntivo – che qui non riporto – si trovano gli intervalli in cui la dis è verificata (in pieno accordo con il libro!)
${S}={\frac{pi}{4} <= x < \frac{pi}{2} \mbox{ } \v \mbox{ } \frac{2pi}{3}<=x<=\frac{3pi}{4}}
Ora, scusatemi, ma perché $x=0$ ($x=pi$) non è soluzione? Nel quadro che ho fatto per studiare il segno dei due fattori risultano entrambi compresi (se vogliamo usare il “gergo” scolastico diremmo che sono entrambi “pallini pieni”); quindi, siccome mi venivano richiesti dalla disequazioni i valori per cui il primo membro era minore o uguale pensavo bisognasse includere anche questi. Ma vi invito a verificare – in maniera un po’ empirica – che questi valori non sono soluzioni della disequazione data (infatti, per $x=0$ si ha: $(0 +sqrt3)(1) = sqrt3$ che non è né uguale né minore di zero).
Qualche anima pia mi può gentilmente spiegare questa “apparente” incongruenza? Dove sta l’errore? Come al solito un grazie in anticipo.
Grazie,
Paolo
Risposte
Caro Paolo, il problema sta nel fatto che quando disegni un grafico di studio dei segni usi lo stesso simbolo per indicare sia "il valore della x che annulla il fattore" sia "il valore della x che rende positivo tale fattore, ma si trova in un estremo del tuo intervallo". È evidente che 0 moltiplicato per un fattore positivo o negativo, non fa differenza, il prodotto è sempre 0, mentre se si tratta del valore della x che rende positivo un fattore è importante stabilire il segno degli altri fattori per conoscere il segno del prodotto.
Generalmente, per non creare questi problemi con i miei studenti, chiedo di rappresentare con il pallino pieno solo il caso in cui il fattore si annulla, con il pallino vuoto quando non esiste, di non usare alcun tipo di pallino quando non ci si trova di fronte ad uno dei casi suddetti.
Per quanto riguarda il periodo di $cos^2x$ e di $sin^2x$ tale periodo è effettivamente $pi$, lo si può verificare agevolmente utilizzando la proprietà $cos^2x=(1+cos2x)/2$ e $cos2x=cos(2x+2pi)=cos2(x+pi)$ che quindi ci permette di affermare che il periodo di $cos^2x$ è $pi$, perché è lo stesso di $cos2x$, analogamente si dimostra che $sin^2x$ ha periodo $pi$.
Ciao
Generalmente, per non creare questi problemi con i miei studenti, chiedo di rappresentare con il pallino pieno solo il caso in cui il fattore si annulla, con il pallino vuoto quando non esiste, di non usare alcun tipo di pallino quando non ci si trova di fronte ad uno dei casi suddetti.
Per quanto riguarda il periodo di $cos^2x$ e di $sin^2x$ tale periodo è effettivamente $pi$, lo si può verificare agevolmente utilizzando la proprietà $cos^2x=(1+cos2x)/2$ e $cos2x=cos(2x+2pi)=cos2(x+pi)$ che quindi ci permette di affermare che il periodo di $cos^2x$ è $pi$, perché è lo stesso di $cos2x$, analogamente si dimostra che $sin^2x$ ha periodo $pi$.
Ciao
Carissima Amelia,
anzitutto grazie per la risposta. Scopro soltanto ora - con piacere - che sei un'insegnante (posso continuare a darti del tu?).
Procediamo con ordine: per quanto riguarda la questione sul periodo, ti ringrazio per le delucidazioni che mi hai dato: il dubbio era abbastanza stupido e infondato (credo che sia sorto soltanto perchè siamo soliti a scuola rappresentare il grafico di $sin^2x$ nell'intervallo $[0,2pi]$). Comunque ora è tutto chiaro.
Quindi, secondo te è una convenzione abbastanza scorretta - in goniometria - usare il pallino pieno in questi casi. La questione è saltata fuori ieri mattina a scuola durante l'ora di Matematica (sono io che ho formulato la domanda alla prof) ma lei non è stata in grado di rispondermi (mi ha detto che non le era mai capitato un caso del genere.... ....).
Se non ho capito male tu suggerisci di non usare nessun pallino in questi casi; ma come possiamo ovviare a questo? Non è necessario in nessun caso? Ci sono disequazioni invece in cui si verifica il contrario (cioè questo valore all'estremo dell'intervallo è soluzione da aggiungere alle altre?)
Ancora un grazie per la tua disponibilità e per la tua chiarezza espositiva. Grazie.
Paolo
anzitutto grazie per la risposta. Scopro soltanto ora - con piacere - che sei un'insegnante (posso continuare a darti del tu?).
Procediamo con ordine: per quanto riguarda la questione sul periodo, ti ringrazio per le delucidazioni che mi hai dato: il dubbio era abbastanza stupido e infondato (credo che sia sorto soltanto perchè siamo soliti a scuola rappresentare il grafico di $sin^2x$ nell'intervallo $[0,2pi]$). Comunque ora è tutto chiaro.
"amelia":
Caro Paolo, il problema sta nel fatto che quando disegni un grafico di studio dei segni usi lo stesso simbolo per indicare sia "il valore della x che annulla il fattore" sia "il valore della x che rende positivo tale fattore, ma si trova in un estremo del tuo intervallo". È evidente che 0 moltiplicato per un fattore positivo o negativo, non fa differenza, il prodotto è sempre 0, mentre se si tratta del valore della x che rende positivo un fattore è importante stabilire il segno degli altri fattori per conoscere il segno del prodotto.
Generalmente, per non creare questi problemi con i miei studenti, chiedo di rappresentare con il pallino pieno solo il caso in cui il fattore si annulla, con il pallino vuoto quando non esiste, di non usare alcun tipo di pallino quando non ci si trova di fronte ad uno dei casi suddetti.
Quindi, secondo te è una convenzione abbastanza scorretta - in goniometria - usare il pallino pieno in questi casi. La questione è saltata fuori ieri mattina a scuola durante l'ora di Matematica (sono io che ho formulato la domanda alla prof) ma lei non è stata in grado di rispondermi (mi ha detto che non le era mai capitato un caso del genere.... ....).
Se non ho capito male tu suggerisci di non usare nessun pallino in questi casi; ma come possiamo ovviare a questo? Non è necessario in nessun caso? Ci sono disequazioni invece in cui si verifica il contrario (cioè questo valore all'estremo dell'intervallo è soluzione da aggiungere alle altre?)
Ancora un grazie per la tua disponibilità e per la tua chiarezza espositiva. Grazie.
Paolo
"Paolo90":
Carissima Amelia,
anzitutto grazie per la risposta. Scopro soltanto ora - con piacere - che sei un'insegnante (posso continuare a darti del tu?).
Certamente, qui nel forum ci diamo tutti del tu.
"Paolo90":
Quindi, secondo te è una convenzione abbastanza scorretta - in goniometria - usare il pallino pieno in questi casi.
Non è scorretta se sai che cosa significa il tuo pallino pieno, diventa scorretta se lo usi come se volesse dire una cosa e ne significa un'altra.
"Paolo90":
Ci sono disequazioni invece in cui si verifica il contrario (cioè questo valore all'estremo dell'intervallo è soluzione da aggiungere alle altre?)
Certo basta invertire il simbolo di disuguaglianza nella tua disequazione
$(tanx+sqrt3)(2cos^2x-1)>=0$ o, meglio ancora, $sin^2x*cosx<=0
"amelia":
Certo, basta invertire il simbolo di disuguaglianza nella tua disequazione
$(tanx+sqrt3)(2cos^2x-1)>=0$ o, meglio ancora, $sin^2x*cosx<=0
Ora è più chiaro. Presterò più attenzione in futuro quando mi troverò di fronte a uno di questi casi. Grazie Amelia.
A presto,
Paolo.
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