Le equazioni delle tangenti a un'ellisse
Salve a tutti,
pongo immediatamente il quesito su cui da un po' mi arrovello:
"Conduci dal punto P $(6;-3/2)$ le tangenti all'ellisse di equazione $x^2+4y^2=9$."
Sembra tutto semplice: ho trovato l'equazione della retta generica passante per il punto P, l'ho messa a sistema con l'equazione dell'ellisse, ho trovato l'equazione risolvente di secondo grado. Quindi ho posto il discriminante uguale a zero, trovando i due valori di $m$.
Il problema sta proprio qui: secondo i miei calcoli $m^2$ è uguale a $1/12$, da cui i due valori opposti di $m$ ed $m_1$. Quando tuttavia sostituisco i valori trovati per $m$ ed $m_1$ nell'equazione generica in modo da trovare le tangenti, i risultati sballano completamente rispetto a quelli del testo, che sono $2y+3=0$ e $4x+6y-15=0$.
Dove diavolo è l'errore? E come arrivare ai risultati forniti dal libro?
Grazie anticipatamente.
pongo immediatamente il quesito su cui da un po' mi arrovello:
"Conduci dal punto P $(6;-3/2)$ le tangenti all'ellisse di equazione $x^2+4y^2=9$."
Sembra tutto semplice: ho trovato l'equazione della retta generica passante per il punto P, l'ho messa a sistema con l'equazione dell'ellisse, ho trovato l'equazione risolvente di secondo grado. Quindi ho posto il discriminante uguale a zero, trovando i due valori di $m$.
Il problema sta proprio qui: secondo i miei calcoli $m^2$ è uguale a $1/12$, da cui i due valori opposti di $m$ ed $m_1$. Quando tuttavia sostituisco i valori trovati per $m$ ed $m_1$ nell'equazione generica in modo da trovare le tangenti, i risultati sballano completamente rispetto a quelli del testo, che sono $2y+3=0$ e $4x+6y-15=0$.
Dove diavolo è l'errore? E come arrivare ai risultati forniti dal libro?
Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
Il problema sta proprio qui: secondo i miei calcoli $m^2$ è uguale a $1/12$, da cui i due valori opposti di $m$ ed $m_1$. Quando tuttavia sostituisco i valori trovati per $m$ ed $m_1$ nell'equazione generica in modo da trovare le tangenti, i risultati sballano completamente rispetto a quelli del testo, che sono $2y+3=0$ e $4x+6y-15=0$.
Osserviamo i fatti:
- hai calcolato i valori di $m$;
- i valori di $m$ che hai trovato non sono corretti.
Qual è la sola cosa deducibile dai due fatti sopra esposti?
Prova a postare il procedimento.
Errore di calcolo.
Un valore di $m$ ha da essere nullo, perchè una delle tangenti condotte da $P$ all'ellisse $\mathcal{E}$ è la retta d'equazione $y=-3/2$.
Basta fare un disegnino per accorgersene:
[asvg]xmin=-7;
xmax=7;
ymin=-7;
ymax=7;
axes("label","grid");
plot(-1.5);
dot([6,-1.5]);
stroke="red";
plot("0.5*(9-x^2)^0.5", -3,3);
plot("-0.5*(9-x^2)^0.5", -3,3);[/asvg]
Un valore di $m$ ha da essere nullo, perchè una delle tangenti condotte da $P$ all'ellisse $\mathcal{E}$ è la retta d'equazione $y=-3/2$.
Basta fare un disegnino per accorgersene:
[asvg]xmin=-7;
xmax=7;
ymin=-7;
ymax=7;
axes("label","grid");
plot(-1.5);
dot([6,-1.5]);
stroke="red";
plot("0.5*(9-x^2)^0.5", -3,3);
plot("-0.5*(9-x^2)^0.5", -3,3);[/asvg]
L'equazione risolvente nei miei calcoli è:
$x^2+4m^2x^2-48m^2x+144m^2-9=0$. L'errore c'è senz'altro, il problema è che non riesco a trovarlo!
$x^2+4m^2x^2-48m^2x+144m^2-9=0$. L'errore c'è senz'altro, il problema è che non riesco a trovarlo!
"TR0COMI":
L'equazione risolvente nei miei calcoli è:
$x^2+4m^2x^2-48m^2x+144m^2-9=0$. L'errore c'è senz'altro, il problema è che non riesco a trovarlo!
Secondo me se scrivi tutti i passaggi l'errore lo trovi. E se non lo trovi, posta i passaggi così ti si aiuta a trovarlo.
$y=mx-6m$
$x^2+4y^2=9$
$y=mx-6m$
$x^2+4(m^2x^2-12m^2x+36m^2)=9$
Poi giungo all'equazione risolvente, che ho postato prima, e impongo il discriminante uguale a zero:
$b^2-4ac=0$
$2304m^4-2304m^4+144m^2-576m^2+36=0$
$432m^2-36=0$
$12m^2=1$
(Avrei potuto usare il Discriminante/quattro, ma mi piaceva di più quello normale...
)
$x^2+4y^2=9$
$y=mx-6m$
$x^2+4(m^2x^2-12m^2x+36m^2)=9$
Poi giungo all'equazione risolvente, che ho postato prima, e impongo il discriminante uguale a zero:
$b^2-4ac=0$
$2304m^4-2304m^4+144m^2-576m^2+36=0$
$432m^2-36=0$
$12m^2=1$
(Avrei potuto usare il Discriminante/quattro, ma mi piaceva di più quello normale...
)
"TR0COMI":
$y=mx-6m$
Ehm... questa non passa per P
Sicuramente hai ragione (anche perchè io sto dormendo in pratica) ma perchè? Ti sembrerà stupido ( e lo sembrerà anche a me domattina ) ma l'errore in dov'è?(Premetto che sono distrutto 
)
)
"TR0COMI":
Sicuramente hai ragione (anche perchè io sto dormendo in pratica) ma perchè? Ti sembrerà stupido ( e lo sembrerà anche a me domattina
Tu devi considerare il fascio di rette per P e metterlo a sistema con l'ellisse. Ora, il fascio di rette per il punto $(x_0,y_0)$ è dato da
$y-y_0=m(x-x_0)$,
dove $m$ è un parametro (e l'assegnazione di un valore a $m$ corrisponde alla scelta di una retta del fascio). Ora dato che nel tuo caso $(x_0,y_0)=(6,-3/2)$, hai $x_0=6$ e $y_0=-3/2$, quindi hai:
$y-(-3/2)=m(x-6)$.
In altre parole:
$y=m(x-6)-3/2$.
Invece $y=m(x-6)$ rappresenta il fascio di centro $(6,0)$.
Adesso capisco! Grazie mille!
Un'ultima cosa, ho dei problemi con un altro esercizio che non si trova (di tipo simile):
"Trova il valore di $k$ affinchè l'ellisse di equazione: $x^2/(k+6) + y^2/(1-k) = 1$ sia tangente alla retta di equazione $y=-2x+4$".
Qui come devo procedere?
Un'ultima cosa, ho dei problemi con un altro esercizio che non si trova (di tipo simile):
"Trova il valore di $k$ affinchè l'ellisse di equazione: $x^2/(k+6) + y^2/(1-k) = 1$ sia tangente alla retta di equazione $y=-2x+4$".
Qui come devo procedere?
"TR0COMI":
"Trova il valore di $k$ affinchè l'ellisse di equazione: $x^2/(k+6) + y^2/(1-k) = 1$ sia tangente alla retta di equazione $y=-2x+4$".
Qui come devo procedere?
Li metti a sistema e poni il delta uguale a zero (come il solito).
Quindi si tratta soltanto di metterli a sistema, porre il delta uguale a zero e risolvere l'equazione di secondo grado che ne consegue, giusto?
Grazie, mi sei stato veramente utile. Alla prossima!
Grazie, mi sei stato veramente utile. Alla prossima!
"TR0COMI":
Quindi si tratta soltanto di metterli a sistema, porre il delta uguale a zero e risolvere l'equazione di secondo grado che ne consegue, giusto?
Giusto
Ciao.
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