LA SIMILITUDINE (geometria)

[p o t t i n a ^^]

Ciao, mi chiamo Alessia e ho finito la seconda superiore. Ho delle difficoltà con questa dimostrazione di geometria, posto di seguito il testo:
"Dall'estremo A del diametro AB di una circonferenza conduci la perpendicolare AH alla tangente in P, punto dell'arco AB. Dimostra che il segmento AP é medio proporzionale tra il diametro e AH."

Grazie, ciao.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, è richiesta la dimostrazione del fatto che

[math]AB : AP = AP : AH\\[/math]

.

Al solito, si comincia col fare un bel disegno grande e chiaro:

Grazie a questo teorema, il triangolo

[math]APB[/math]

è rettangolo in

[math]P[/math]

, quindi

[math]A\hat{P}K = P\hat{B}A[/math]

perché complementari dello stesso angolo

[math]P\hat{A}B\\[/math]

.

Ma

[math]P\hat{B}A = H\hat{P}A[/math]

perché insistono sullo stesso arco

[math]AP[/math]

(

[math]P\hat{B}A[/math]

ha
i lati entrambi secanti la semicirconferenza, mentre

[math]H\hat{P}A[/math]

ha i lati uno secante
e uno tangente). Allora, per transitività, risulta

[math]H\hat{P}A = A\hat{P}K\\[/math]

.

Quindi, notando che i triangoli rettangoli

[math]APK[/math]

e

[math]APH\\[/math]

hanno... ecc ecc.

A te proseguire. ;)


-------------- A coloro che servirà in futuro -------------- 16/08/2014 - 15:00 --------------

Si nota che i triangoli rettangoli

[math]APK[/math]

e

[math]APH[/math]

hanno l'ipotenusa

[math]AP[/math]

in
comune e

[math]H\hat{P}A = A\hat{P}K[/math]

; avendo ordinatamente congruenti l'ipotenusa e
un angolo acuto, i due triangoli rettangoli considerati sono congruenti e in partico-
lare risulta

[math]AH \equiv AK[/math]

. Per la similitudine tra i triangoli rettangoli

[math]APB[/math]

e

[math]APK[/math]

, per il 1° Teorema di Euclide, risulta

[math]AB : AP = AP : AK[/math]

.
Ma poiché

[math]AH \equiv AK[/math]

come dimostrato, risulta

[math]\small AB : AP = AP : AH[/math]

.
c.v.d.