La proprietà transitiva
Ciao a tutti,
la domanda è la seguente: data una relazione di ordine o di equivalenza su un data insieme A , qual' è l' utilità della validità della proprietà transitiva, perché è essenziale che sia Verificata ? cosa comporterebbe la non validità ?
Esempio, Se avessi la Relazione R " ... essere più alto di .." sul A= {Carlo= 1,70 cm; Alberto = 1,60 cm; Giuseppe = 1,78 cm; Rossana = 1,90 cm} sottoinsieme degli uomini.
E' sufficiente la validità della antisimmetrica per ordinare A.
Infatti per ogni x,y di A con x <>y se xRy allora "non vale( y R x)".
posso ugualmente ricavare il seguente ordinamento confrontando tutte le coppie di A e ottenere "Rossana R Giuseppe"; "Giuseppe R Carlo" ; "Carlo R Alberto".?!
Grazie!
la domanda è la seguente: data una relazione di ordine o di equivalenza su un data insieme A , qual' è l' utilità della validità della proprietà transitiva, perché è essenziale che sia Verificata ? cosa comporterebbe la non validità ?
Esempio, Se avessi la Relazione R " ... essere più alto di .." sul A= {Carlo= 1,70 cm; Alberto = 1,60 cm; Giuseppe = 1,78 cm; Rossana = 1,90 cm} sottoinsieme degli uomini.
E' sufficiente la validità della antisimmetrica per ordinare A.
Infatti per ogni x,y di A con x <>y se xRy allora "non vale( y R x)".
posso ugualmente ricavare il seguente ordinamento confrontando tutte le coppie di A e ottenere "Rossana R Giuseppe"; "Giuseppe R Carlo" ; "Carlo R Alberto".?!
Grazie!
Risposte
benvenuto/a 
Sia $R$ una relazione definita su un certo insieme $A$
Se $R$ è transitiva, allora comunque presi $a,b,cinA$ e si ha che:
$aRbwedgebRc=>aRc$
equivalentemente $R$ non è transitiva, allora $existsa,b,cinA:$ se $aRbwedgebRc$ allora $a$ non è in relazione con $c$
La presenza o meno della transitività non implica la simmetria o l'antisimmetria. Di fatto se implicasse una delle due, non potrebbero esistere o le relazioni d'ordine o quelle di equivalenza. La transitività è uno strumento ottimo per tener conto della relazione tra 3(o più) elementi.
Pensa alla relazione $geq$ definita su $NN$ cosa comporterebbe l'assenza della transitività?
Noi sappiamo che $3geq2wedge2geq1=>3geq1$ se questa venisse meno, potremmo rifare tutti gli insiemi numerici.
Dunque la transitività è di fondamentale importanza per l'ordinamento di un insieme(sia esso parziale o totale.
Sia $R$ una relazione definita su un certo insieme $A$
Se $R$ è transitiva, allora comunque presi $a,b,cinA$ e si ha che:
$aRbwedgebRc=>aRc$
equivalentemente $R$ non è transitiva, allora $existsa,b,cinA:$ se $aRbwedgebRc$ allora $a$ non è in relazione con $c$
La presenza o meno della transitività non implica la simmetria o l'antisimmetria. Di fatto se implicasse una delle due, non potrebbero esistere o le relazioni d'ordine o quelle di equivalenza. La transitività è uno strumento ottimo per tener conto della relazione tra 3(o più) elementi.
Pensa alla relazione $geq$ definita su $NN$ cosa comporterebbe l'assenza della transitività?
Noi sappiamo che $3geq2wedge2geq1=>3geq1$ se questa venisse meno, potremmo rifare tutti gli insiemi numerici.
Dunque la transitività è di fondamentale importanza per l'ordinamento di un insieme(sia esso parziale o totale.
Non mi è chiara la dicitura "se questa venisse meni, potremmo rifare tutti gli insiemi numerici", forse perché non comprendo l utilità della proprietà
L'antisimmetria non basta per poter avere una relazione che corrisponda a ciò che immaginiamo quando parliamo di ordine. La transitività è una proprietà essenziale, se vogliamo rendere l'idea di "ordine".
Se io ti dicessi che:
- Tizio è più zrug di Caio
- Caio è più zrug di Sempronio
- Sempronio è più zrug di Tizio
te la sentiresti di dire che "zrug" è una relazione d'ordine?
Se io ti dicessi che:
- Tizio è più zrug di Caio
- Caio è più zrug di Sempronio
- Sempronio è più zrug di Tizio
te la sentiresti di dire che "zrug" è una relazione d'ordine?
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