La posizione di una retta rispetto a una parabola

[Alix1]

Salve a tutti.. a breve avrò l'esame di riparazione di matematica e sto facendo esercizi sulla parabola però mi sono bloccata su un esercizio. Il testo dice: "Determina l'area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione $x-3y-1=0$ con la parabola di equazione $x=-y^2+2y+1$ ed F il fuoco della parabola"

Io ho trovato i punti A e B mettendo a sistema l'equazione della parabola e della retta data e ho trovato A(1;0) e B(-2;-1) per trovare F ho applicato appunto la formula del fuoco e mi viene F(-7/4;1) ma non sono sicura che sia giusto perchè dopo aver trovato la misura di AB (che a me viene $sqrt(10)$ ) ho calcolato la distanza di F dalla retta AB ricavando così l'altezza che devo utilizzare per calcolare l'area ma il risultato viene sbagliato.. io credo che il procedimento sia giusto.. quindi forse è solo un errore di calcolo.
Spero di essere stata chiaro e ringrazio chiunque per l'eventuale aiuto.

[giammaria2]

Hai giustamente calcolato che la y del fuoco è 1; per la x basta sostituire nell'equazione e ottiwni x=2

[Alix1]

ah ecco.. io invece di sostituire e basta ho utilizzato la formula con il delta... ma quindi il fuoco e il vertice hanno le stesse coordinate??

[adaBTTLS1]

no, non so a che cosa si riferisse giammaria, ma se sostituisci nell'equazione trovi il vertice, non il fuoco.

[Alix1]

la formula per la x del fuoco è $(1+4ac-b^2)/(4a)$? io ho applicato questa..

[adaBTTLS1]

sì, la formula è esatta, ma il risultato è positivo ($a=-1$).

[Alix1]

ok grazie mille!

[adaBTTLS1]

prego!

[giammaria2]

"adaBTTLS":no, non so a che cosa si riferisse giammaria, ma se sostituisci nell'equazione trovi il vertice, non il fuoco.

Hai ragione, avevo letto male il testo.