La parabola: geometria analitica

[mirk95]

ciao a tutti, ho 2 problemi da chiedervi... non ne è venuto 1!!
1.
determina per quali valori di m la parabola di equazione y=2x^2-4x+3 e il fascio di rette di equazione y=mx+m hanno dei punti in comune. La soluzione deve venire: mouguale -8+6radice2. come fanno a venire delle disequazioni????

2.
data la parabola di equazione y= -x^2+4x+5, determina:
a. le intersezioni della parabola con la retta di equazione y=-x+5 e indicale con A e B (A punto di ascissa minore) (questo punto mi è venuto!!: A(0;5) e B(5;0).
b. un punto P sull'arco della parabola AB in modo che il triangolo OPB abbia area 20. Come si fa???

Grazie in anticipo...

[BIT5]

devi mettere a sistema la parabola con il fascio, per trovare i generici punti di intersezione tra parabola e fascio

[math] \{y=2x^2-4x+3 \\ y=mx+m [/math]

da cui per confronto

[math] 2x^2-4x+3=mx+m \to 2x^2-4x-mx+3-m=0 \to \\ \\ \\ \to 2x^2-(4+m)x +3 - m = 0 [/math]

Da cui le soluzioni (ovvero le due ascisse dei generici punti di intersezione)

[math] x_{1,2} = \frac{4+m \pm \sqrt{(4+m)^2 - 4(2)(3-m)}}{4} [/math]

come sai, se il delta e' negativo, l'equazione non avra' soluzione (e quindi il fascio non intersechera' la parabola) se il delta e' positivo avremo due soluzioni (due punti di intersezione) e se e' nullo, due punti coincidenti

quindi

[math] \Delta \ge 0 \to (4+m)^2-24+8m \ge 0 \to 16+8m+m^2-24+8m \ge 0 [/math]

e quindi

[math] m^2+16m-8 \ge 0 [/math]

e quindi (con la ridotta)

[math] m= -8 \pm \sqrt{64+8} = -8 \pm \sqrt{72} \to -8 \pm \sqrt{6^2 \cdot 2} = -8 \pm 6 \sqrt2 [/math]

e quindi

[math] \Delta \ge 0 \to x \le -8-6 \sqrt2 \cup x \ge -8+6 \sqrt2 [/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

2) Il triangolo OPB, ha due estremi noti ( O(0,0) e B(5,0) )

La base sara' quindi lunga 5 (e' orizzontale)

affinche' l'area dal triangolo sia 20, l'altezza dovra' essere lunga 8

[math] A= \frac{b \cdot h}{2} \to h= \frac{2A}{b} = \frac{40}{5} = 8 [/math]

L'altezza del triangolo sara' 8.
Ma la base e' l'asse x, quindi dovra' essere il punto della parabola (o i punti) di ordinata 8

quindi

[math] y_P=8 \to 8=-x^2+4x+5 \to x^2-4x+3=0 \to (x-3)(x-1)=0[/math]

e quindi x=3 e x=1

i due punti di interesse saranno (3,8 ) e (1,8 )

I due punti stanno entrambi nell'arco AB