La moneta caduta di Anna e Marco (sistemi di equazioni)

[niko640]

Buonasera,
sto cercando di risolvere questo problema ma mi dà un risultato negativo! Sbaglio sicuramente qualcosa nel creare il sistema! Mi potete aiutare per favore? Grazie

Problema
Una moneta caduta
Anna e Marco stanno camminando quando dalla tasca di Marco cade a terra una moneta da € 2. Anna, che conosce la somma in possesso di Marco, la raccoglie e gli dice: «Se ora ti restituissi questa moneta, il triplo della somma in mio possesso sarebbe inferiore di € 6 rispetto al doppio della tua; se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te». Quanti euro avevano rispettivamente Anna e Marco prima di questo episodio?

Questi sono i miei dati:
Anna = x
Marco = y

Sistema
3x=2y-6+2
2x+2=y+9

però cercandi di risolverlo mi dà 2 valori negativi (-8 e -9)
Mi aiutate a capire cosa sbaglio?

Grazie!

[giammaria2]

Se Anna restituisse la moneta, lei continuerebbe ad avere $x$ mentre Marco avrebbe $y+2$, quindi la prima equazione va corretta in
$3x=2(y+2)-6$
Con ragionamento analogo va corretta la seconda equazione: Anna avrebbe $x+2$.

Con $y$ ho inteso la somma di Marco dopo la caduta della moneta; prima di questa caduta aveva evidentemente 2 euro in più.

[superpippone]

$3x=2y-6$
$2*(x+2)=y-2+9$

x=12
y=21

[mgrau]

Il sistema non mi pare quello, ma invece
$3x = 2x -6$
$"(x+2) = y+9$
che ha soluzioni 16 e 27.
Inoltre mi pare anche che il sistema che hai scritto non ha le soluzioni che dici tu, ma invece 22 e 37

[superpippone]

Non è male.
Abbiamo risposto in 3, ed abbiamo dato tre soluzioni diverse......

[Lo_zio_Tom]

perfettamente d'accordo con @superpippone....e non mi pare ci siano dubbi in proposito.....

"se ti restituissi la moneta (quindi la somma di marco, diciamo $y$) rimane invariata, il triplo della mia somma è uguale al doppio della tua meno 6", ovvero $3x=2y-6$

d'altro canto: " se invece non te la restituissi (quindi la mia somma diventa $x+2$) il doppio di tale somma che avrei, sarebbe 9 euro più ciò che è rimasto a te, ovvero $2(x+2)=9+(y-2)$

la soluzione di @mgrau invece non torna

"niko640":se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te»

$(16+2)xx2 !=(27-2)+9$

[axpgn]

@superpippone (e tommik), of course …

[Lo_zio_Tom]

"mgrau":
Inoltre mi pare anche che il sistema che hai scritto non ha le soluzioni che dici tu, ma invece 22 e 37

${{: ( 3x=2y-6 ),( 2(x+2)=9+(y-2) ) :} rarr {{: ( 3x=2y-6 ),( 2x=y+3 ) :}rarr{{: (3x=2y-6 ),( 4x=2y+6 ) :} $

sottraggo membro a membro nell'ultimo sistema ottenendo subito

$x=12$ e quindi anche $y=21$

[giammaria2]

D'accordo con superpippone se con $y$ si intende la somma che Marco aveva inizialmente; io ho precisato che invece intendevo quella dopo la caduta della moneta.

[curie88]

Procedere con un equazione ed una disequazione è vietato? Quanto meno è un approccio certamente corretto, [hide="L'approccio proposto al problema è totalmente scorretto, in quanto le relazioni messe a sistema non traducono correttamente le informazioni date nel testo dell'esercizio"]in assenza di miei errori.
Dunque procedo con questo sistema:
x=denaro Anna senza la moneta
y=denaro Marco senza la moneta
{$3x<2(y+2)-6$
{$2(x+2)=9+y$
Dalla seconda si ha:
$2x=5+y$
$x=(5+y)/2$
Dalla prima:
$x<(2y-2)/3$
Per cui deve essere:
$(5+y)/2<2(y-1)/3$
$15+3y<4y-4$
$y>19$
$y=2x-5$
$19>2x-5$
$x<12$
Quindi $y=20$ euro, e $x=11$ euro.
Supposte le quantità in euro, che non possano dunque esserne dei centesimi.[/hide]

[curie88]

E prima dell'episodio Marco ne aveva 22.

[@melia]

Hai usato la parola "inferiore" presente nel testo con il doppio significato di inferiore di 6 euro, ma anche inferiore di quella inferiore a 6 euro, inoltre la seconda equazione non è verificata.

[curie88]

È vero ho tradotto male.
Perché però la seconda equazione non è verificata?

[@melia]

"se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te"
il doppio di $11+2$ non supera di 9 euro la somma rimasta a Marco, ma solo di 6 euro.

[curie88]

Ok. Be' si dato che ho mal interpretato il testo non poteva essere altrimenti. Sono stato pigro non ho fatto verifica.
Grazie comunque, il tuo intervento in questo caso è costruttivo. Saluti.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"niko640":
Problema
Una moneta caduta
Anna e Marco stanno camminando quando dalla tasca di Marco cade a terra una moneta da € 2. Anna, che conosce la somma in possesso di Marco, la raccoglie e gli dice: «Se ora ti restituissi questa moneta, il triplo della somma in mio possesso sarebbe inferiore di € 6 rispetto al doppio della tua; se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te». Quanti euro avevano rispettivamente Anna e Marco prima di questo episodio?

Questi sono i miei dati:
Anna = x
Marco = y

Secondo me vale la pena di soffermarsi maggiormente sul significato che dai alle incognite. Quando scrivi Anna $ =x$ e Marco $= y$ è ambiguo, e rischi di confonderti poi quando devi impostare il sistema. Per mostrartelo di riporto due significati di incognite differenti.

$x=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Anna prima della caduta della moneta da 2 euro a terra
$y=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Marco prima della caduta della moneta da 2 euro a terra

In questo caso è più chiaro per te in primis, cosa significano le incognite e quando devi impostare il sistema sai che se Anna restituisce la moneta caduta allora la somma totale di soldi in tasca ai due rimane invariata. Ovvero Anna possiede ancora $x$ euro e Marco $y$ euro. Mentre se Anna si intasca la moneta allora Anna avrà 2 euro in più e Marco 2 euro in meno rispetto a prima. Dunque i totali sono $x+2$ Anna e $y-2$ Marco. E il sistema diviene dunque
\[ \left\{\begin{matrix}
3x& = &2y-6 \\
2(x+2)&=& (y-2)+9
\end{matrix}\right. \]
Risolto otterrai come soluzioni $x=12$ e $y=21$ e visto che abbiamo definito $x$ e $y$ come le quantità possedute dai due prima dell'avvenimento allora Marco possedeva prima che li cadesse la moneta $21$ euro e Anna $12$.

Definizione alternativa.
$x=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Anna dopo la caduta della moneta da 2 euro a terra, ma prima che Anna la raccogliesse.
$y=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Marco dopo la caduta della moneta da 2 euro a terra, ma prima che Anna la raccogliesse.
Sul terreno ci sono dunque 2 euro.

Pertanto il valore posseduto da Anna e da Marco prima della caduta della moneta da 2 euro sono rispettivamente $x$ per Anna, a lei non è caduta alcuna moneta il suo totale precedente alla caduta non cambia. E $y+2$ per Marco, perché a lui sono caduti 2 euro quindi prima che li cadessero ne possedeva 2 in più rispetto a ora che una moneta da 2 euro è sul terreno.

Ora possiamo impostare il sistema, se Anna restituisce la moneta caduta allora la somma totale di soldi in tasca ai due è uguale alla somma che possedevano i due prima che la moneta cadesse. Ovvero Anna possiede ancora $x$ euro e Marco $y+2$ euro. Mentre se Anna si intasca la moneta allora Anna avrà 2 euro in più e Marco avrà la stessa quantità di euro che possiede dopo la caduta. Dunque i totali sono $x+2$ Anna e $y$ Marco. E il sistema diviene dunque
\[ \left\{\begin{matrix}
3x& = &2(y+2)-6 \\
2(x+2)&=& y+9
\end{matrix}\right. \]
Risolto otterrai come soluzioni $x=12$ e $y=19$ e visto che abbiamo definito $x$ e $y$ come le quantità possedute dai due dopo l'evento della caduta allora Marco possedeva prima che li cadesse la moneta $19+2=21$ euro e Anna $12$.

Vanno bene entrambi i modi, in realtà puoi definire $x$ e $y$ come ti pare, si predilige solitamente quella più semplice e diretta per minimizzare la possibilità di errori e/o di sviste. Ad esempio io avrei scelto la prima definizione di $x$ e $y$, però per altri potrebbe risultare più comodo pensare in altri termini, ad esempio la seconda o un'altra ancora. L'importante è restare coerenti con la propria scelta e avere ben presente il significato delle quantita che definisci. Il primo sistema è corretto solo se associato alla prima definizione di incognite. Il secondo sistema è corretto solo se associato alla seconda definizione di incognite, se inverti i sistemi otterrai delle risposte sbagliate. Ti sconsiglio vivamente di scrivere cose come Marco = y e Anna = x, in primis per te, diviene più chiaro come ragionare quando hai in chiaro il significato delle variabili e secondariamente perché chi legge non sa come interpretarlo e deve "indovinare". Difatti hai ottenuto inizialmente 3 risposte diverse anche per questo motivo.