La circonferenza (geometria analitica)
Ragazzi mi serve un aiuto,domani forse vengo interrogato e l'argomento sarano i problemi con la circonferenza e le tangenti.Solo che la maggior parte davvero non so cosa fare e non mi riescono.Per darmi unam ano potete darmi dei consigli e maagri risolvermi questi problemi che scrivo?(ricordate che ^ vuol dire al quadrato)
1)determinare l'equazione della circonferenza di raggio 1/2radical34 sapendo che il centro è nel terzo quadrante e che è circoscritta a un rettangolo avente due vertici nei punti A(1;0) e B(0;1).Calcolare la misura del perimetro del rettangolo
2)Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione y=-2x + 4 nel punto di ascissa 1 e alla retta y=-2x - 16.Determinare le coordinate del punto di tagenza con la seconda retta
3)Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A alla retta x+2y-7=0 e concentrica con la circonferenza x^+y^ + 2x +2y=0.Scrivere l'equazione della tangente in B alla circonferenza parallela alla retta 2x + y=0 e che incontra l'asse delle x in un punto di ascissa positiva.Calcolare la misura del perimetro del triangolo isoscele acutangolo inscritto nella circonferenza e avente per base la corda AB
4(e ultimo :D)Una circonferenza passa per l'origine del sistema di riferimento cartesiano,ha il centro sulla bisettrice del primo quadrante ed è tangente in a alla retta t di equazione x + y - 8=0;scrivere l'equazione della circonferenza.Preso sulla retta t il punto B di ordinata 2,si conduca da B l'ulteriore tangente alla circonferenza e si indichi con C il punto di contatto;calcolare la misura dell'area del trinagolo ABC
RISULTATI
1)x^+y^+3x+3y-4=0 ; 10radical2
2)x^+y^+6x-11=0 ; (-7;-2)
3)x^+y^+2x+2y-18=0 ; 2x+y-7=0 ; 2(radical2 + 2radical(10 + 3radical10)* *tutto sotto radice
4)x^+Y^-4x-4y=0; 4
Grazie ragazzi vi sarie molto grato sem i deste una mano
1)determinare l'equazione della circonferenza di raggio 1/2radical34 sapendo che il centro è nel terzo quadrante e che è circoscritta a un rettangolo avente due vertici nei punti A(1;0) e B(0;1).Calcolare la misura del perimetro del rettangolo
2)Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione y=-2x + 4 nel punto di ascissa 1 e alla retta y=-2x - 16.Determinare le coordinate del punto di tagenza con la seconda retta
3)Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A alla retta x+2y-7=0 e concentrica con la circonferenza x^+y^ + 2x +2y=0.Scrivere l'equazione della tangente in B alla circonferenza parallela alla retta 2x + y=0 e che incontra l'asse delle x in un punto di ascissa positiva.Calcolare la misura del perimetro del triangolo isoscele acutangolo inscritto nella circonferenza e avente per base la corda AB
4(e ultimo :D)Una circonferenza passa per l'origine del sistema di riferimento cartesiano,ha il centro sulla bisettrice del primo quadrante ed è tangente in a alla retta t di equazione x + y - 8=0;scrivere l'equazione della circonferenza.Preso sulla retta t il punto B di ordinata 2,si conduca da B l'ulteriore tangente alla circonferenza e si indichi con C il punto di contatto;calcolare la misura dell'area del trinagolo ABC
RISULTATI
1)x^+y^+3x+3y-4=0 ; 10radical2
2)x^+y^+6x-11=0 ; (-7;-2)
3)x^+y^+2x+2y-18=0 ; 2x+y-7=0 ; 2(radical2 + 2radical(10 + 3radical10)* *tutto sotto radice
4)x^+Y^-4x-4y=0; 4
Grazie ragazzi vi sarie molto grato sem i deste una mano
Risposte
la peppola! Io te e metto lo schema della solusciòn, li calcoli ... nun li sò fà :D:D
1)determinare l'equazione della circonferenza di raggio 1/2radical34 sapendo che il centro è nel terzo quadrante e che è circoscritta a un rettangolo avente due vertici nei punti A(1;0) e B(0;1).Calcolare la misura del perimetro del rettangolo
- calcola la circonferenza di raggio r=1/2radical34 e centro in A
- calcola la circonferenza di raggio r=1/2radical34 e centro in B
- fai l'intersezione delle due circonferenze trovate sopra: verranno fuori due punti uno dei quali è nel 3° quadrante quello è il centro O della circonferenza che stai cercando. Adesso Hai il centro ed il raggio puoi scrivere facilmente l'equazione della circonferenza(se fai il disegno si capisce subito sul perché è il centro)
- calcola la retta AO (O è il centro della circonferenza)
- interseca la retta AO con la circonferenza ed hai il vertice C del rettangolo diametralmente opposto ad A
Calcola le distanze AB e BC ed hai la misura dei lati del rettangolo. e il primo è fatto
1)determinare l'equazione della circonferenza di raggio 1/2radical34 sapendo che il centro è nel terzo quadrante e che è circoscritta a un rettangolo avente due vertici nei punti A(1;0) e B(0;1).Calcolare la misura del perimetro del rettangolo
- calcola la circonferenza di raggio r=1/2radical34 e centro in A
- calcola la circonferenza di raggio r=1/2radical34 e centro in B
- fai l'intersezione delle due circonferenze trovate sopra: verranno fuori due punti uno dei quali è nel 3° quadrante quello è il centro O della circonferenza che stai cercando. Adesso Hai il centro ed il raggio puoi scrivere facilmente l'equazione della circonferenza(se fai il disegno si capisce subito sul perché è il centro)
- calcola la retta AO (O è il centro della circonferenza)
- interseca la retta AO con la circonferenza ed hai il vertice C del rettangolo diametralmente opposto ad A
Calcola le distanze AB e BC ed hai la misura dei lati del rettangolo. e il primo è fatto
Ok grazie
Problema 1)
Il raggio è
da cui
Queste due equazioni ci dicono che
Ma allora
le soluzioni dell'equazione sono
da cui l'equazione della circonferenza
Il segmento AB misura
e la sua equazione è
Sostituendo questo valore di y nell'equazione della circonferenza
e quindi l'equazione in x
le cui soluzioni sono
Fatto. Tra un po' gli altri.
Il raggio è
[math]r=\sqrt{34}/2[/math]
. Se indichiamo con [math]C(x,y)[/math]
le coordinate del centro, allora essendo A,B punti della circonferenza dobbiamo avere[math]CA^2=r^2, CB^2=r^2[/math]
da cui
[math](1-x)^2+y^2=17/2=x^2+(1-y)^2[/math]
Queste due equazioni ci dicono che
[math]1-2x+x^2+y^2=x^2+1-2y+y^2\Rightarrow -2x=-2y\Rightarrow x=y[/math]
Ma allora
[math]2-4x+4x^2=17\Rightarrow 4x^2-4x-15[/math]
le soluzioni dell'equazione sono
[math]x=5/2 , x=-3/2[/math]
Perché C sia nel terzo quadrante (entrambe le coordinate negative) deve essere[math]C\left(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})[/math]
da cui l'equazione della circonferenza
[math](x+3/2)^2+(y+3/2)^2=17/2\Rightarrow x^2+y^2+3x+3y-4=0[/math]
Il segmento AB misura
[math]\sqrt{2}[/math]
. Per trovare la misura dell'altro lato del rettangolo, dobbiamo cercare un punto sulla circonferenza simmetrico di A (o B) rispetto a C. Per farlo, considero la retta che passa per BC: il suo coefficiente angolare è[math]m=\frac{1+3/2}{3/2}=5/3[/math]
e la sua equazione è
[math]y-1=\frac{5}{3}x\Rightarrow y=\frac{5}{3}x+1[/math]
Sostituendo questo valore di y nell'equazione della circonferenza
[math]x^2+(25/9)x^2+(10/3)x+1+3x+5x+3-4=0[/math]
e quindi l'equazione in x
[math]34x^2+102x=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]x=0[/math]
(che ci ridà il punto B) e [math]x=-3[/math]
da cui l'altro vertice del rettangolo [math]D(-3,-4)[/math]
. Il segmento AD è lungo [math]\sqrt{4\sqrt{2}}[/math]
per cui il perimetro del rettangolo è[math]p=2AB+2AD=2\sqrt{2}+8\sqrt{2}=10\sqrt{2}[/math]
Fatto. Tra un po' gli altri.
a bene posta te :D
grazie a tutti e due cmq ;)
io non ho + il software per scrivere facilmente le formule devo ancora trovare un mirror che me li faccia scaricare
Gli altri problemi?E' successo qualcosa?
pensavo te li scriveva qualcun altro ... vabbè te ce metto il 2, ma lo schema della soluzione scrivere a mano il codice latex è palloso :)
non preoccuparti,va benissimo solo il procedimento :)
Scusate. ho avuto problemi lavorativi!
Se ci riesco te li scrivo per bene, ma prima devo finire di fare delle cose, domani devo sostituire un collega a lezione e mi sono preparato gli esercizi!
Se ci riesco te li scrivo per bene, ma prima devo finire di fare delle cose, domani devo sostituire un collega a lezione e mi sono preparato gli esercizi!
2)Scrivere l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione y=-2x + 4 nel punto di ascissa 1 e alla retta y=-2x - 16.Determinare le coordinate del punto di tagenza con la seconda retta
- allora l'ordinata del punto A la trovi mettendo x=1 nell'equazione della retta y=-2+4
- imponi che la generica equazione della circonferenza x^2+y^2+ax+by+c=0 passi per il punto A ed ottieni un'equazione in a, b, c.
- metti a sistema x^2+y^2+ax+by+c=0 con la retta y=-2x + 4 ed imponi che sia nullo il discriminante , il che esprime il fatto che abbia due soluzioni in x coincidenti. (se poi hai fatto le derivate in modo equivalente puoi imporre che sia nulla la derivata prima dell'equazione che rappresenta la circonferenza nel punto A)
- metti a sistema l'equazione della circonferenza con la seconda retta ed imponi che sia =0 il discriminante, anche qui per esprime il fatto che il sistema abbia due radici coincidenti
- adeso hai tra le mani un sistema di 3 equazioni in 3 incognite a, b, c risolvilo ed otterrai l'equazione della circonferenza.
- allora l'ordinata del punto A la trovi mettendo x=1 nell'equazione della retta y=-2+4
- imponi che la generica equazione della circonferenza x^2+y^2+ax+by+c=0 passi per il punto A ed ottieni un'equazione in a, b, c.
- metti a sistema x^2+y^2+ax+by+c=0 con la retta y=-2x + 4 ed imponi che sia nullo il discriminante , il che esprime il fatto che abbia due soluzioni in x coincidenti. (se poi hai fatto le derivate in modo equivalente puoi imporre che sia nulla la derivata prima dell'equazione che rappresenta la circonferenza nel punto A)
- metti a sistema l'equazione della circonferenza con la seconda retta ed imponi che sia =0 il discriminante, anche qui per esprime il fatto che il sistema abbia due radici coincidenti
- adeso hai tra le mani un sistema di 3 equazioni in 3 incognite a, b, c risolvilo ed otterrai l'equazione della circonferenza.
Ok grazie mille.Ma per il secondo problema c'è anche un altro metodo?
io conosco quello ed il metodo delle derivate che è una elegante variante del primo. Altri metodi non so'.
Allora il 3° vediamo come lo fa ciampax? o ce provo io?
3)Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A alla retta x+2y-7=0 e concentrica con la circonferenza x^+y^ + 2x +2y=0.Scrivere l'equazione della tangente in B alla circonferenza parallela alla retta 2x + y=0 e che incontra l'asse delle x in un punto di ascissa positiva.Calcolare la misura del perimetro del triangolo isoscele acutangolo inscritto nella circonferenza e avente per base la corda AB
- scrivi il fascio di rette per il centro C della circonferenza assegnata: (x+1)^2+(y+1)^2=r con r variabile.
- metti a sistema il fascio con la retta e trova quel valore di r che da una soluzione doppia. Fatto questo hai la circonferenza richiesta.
- scrivi il fascio improprio di rette parallela a quella assegnata e poi interseca con l'equazione della circonferenza trovata. Quel valore del parametro che da soluzione doppia è quello che ti serve per scrivere l'equazione della retta cercata.
- interseca le due rette ed avrai il vertice che manca del triangolo.
- calcola la distanza tra i punti e scrivi il perimetro
l'ultimo te lo fa ciampax che te ce mette pure li calcoli ;)
Allora il 3° vediamo come lo fa ciampax? o ce provo io?
3)Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A alla retta x+2y-7=0 e concentrica con la circonferenza x^+y^ + 2x +2y=0.Scrivere l'equazione della tangente in B alla circonferenza parallela alla retta 2x + y=0 e che incontra l'asse delle x in un punto di ascissa positiva.Calcolare la misura del perimetro del triangolo isoscele acutangolo inscritto nella circonferenza e avente per base la corda AB
- scrivi il fascio di rette per il centro C della circonferenza assegnata: (x+1)^2+(y+1)^2=r con r variabile.
- metti a sistema il fascio con la retta e trova quel valore di r che da una soluzione doppia. Fatto questo hai la circonferenza richiesta.
- scrivi il fascio improprio di rette parallela a quella assegnata e poi interseca con l'equazione della circonferenza trovata. Quel valore del parametro che da soluzione doppia è quello che ti serve per scrivere l'equazione della retta cercata.
- interseca le due rette ed avrai il vertice che manca del triangolo.
- calcola la distanza tra i punti e scrivi il perimetro
l'ultimo te lo fa ciampax che te ce mette pure li calcoli ;)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo