ISOMETRIE
Come dimostrare che se una trasformazione è isometrica allora conserva il parallelismo?
Se io consiero due rette parallele e distinte e,per assurdo,le loro rette trasformate non fossero parallele,otterrei due rette icidenti in un punto detto P.Non so,però,come proseguire nella dimostrazione...
Se io consiero due rette parallele e distinte e,per assurdo,le loro rette trasformate non fossero parallele,otterrei due rette icidenti in un punto detto P.Non so,però,come proseguire nella dimostrazione...
Risposte
Se chiami le due rette r ed s, allora il punto che hai chiamato P dici che e' un punto di r; la distanza (punto retta) di P da s e' quindi 0, cio' che vuol dire che anche prima dell'isometria (trasformazione che conserva le distanze) la distanza di P da s era 0, e che quindi P appartiene anche ad s. Ma due rete parallele con un punto in comune sono coincidenti. Assurdo.
Platone
Platone
Io pensavo dovessi puntare su una dimostrazione che avesse a che fare con la corrispondenza biunivoca di una trasformazione geometrica (dato che l'isometria è comunque una trasformazione geometrica,ma che mantiene le distanze).
Allora puoi provare cosi'
(Spero tu sappia usare le matrici)
La matrice associata ud un isomorfsmo lineare nel iano (R^2) e' della forma (a,b; c,d) con determinante diverso da 0 (ossia a*c-b*d =/ 0).
Prendi due rette generiche del piano
r: rx+ty+q=0
s: nx+my+p=0
e dato che r ed s devono essere parallele deve esere r/t=n/m.
Facciamo agir la matrice dell'isomorfismo dui vettori (r,t) e (n,m) e si ottengono i vettori (a*r+b*t, c*n+d*m) e (a*r+b*t, c*n+*m) , e dato che (a*r+b*t)/(c*n+d*m)=(a*r+b*t)/(c*n+*m) alora le due rete trasformate sono ancora parallele.
Platone
(Spero tu sappia usare le matrici)
La matrice associata ud un isomorfsmo lineare nel iano (R^2) e' della forma (a,b; c,d) con determinante diverso da 0 (ossia a*c-b*d =/ 0).
Prendi due rette generiche del piano
r: rx+ty+q=0
s: nx+my+p=0
e dato che r ed s devono essere parallele deve esere r/t=n/m.
Facciamo agir la matrice dell'isomorfismo dui vettori (r,t) e (n,m) e si ottengono i vettori (a*r+b*t, c*n+d*m) e (a*r+b*t, c*n+*m) , e dato che (a*r+b*t)/(c*n+d*m)=(a*r+b*t)/(c*n+*m) alora le due rete trasformate sono ancora parallele.
Platone
Io ti ringrazio Platone,ma ho iniziato da un mesetto il ripasso degli argomenti del liceo,per affrontare l'anno prossimo l'Università senza lacune...Ora come ora sono ancora agli argomenti del Biennio...Mi pare(se non ricordo male) che le matrici vengono affrontate nel triennio.
Con le mie attuali conoscenze(e grazie alle "dritte" che mi hai fornito nella tua prima risposta)io pensavo di dimostrare il teorema in questa maniera.Ti prego di correggermi se sbaglio.
Ho due rette r ed s tra loro parallele.Se,ragionando per assurdo,le due rette trasformate non fossero parallele,significherebbe che r ed s sono rette incidenti (appunto nel punto P).Dato che l'isometria è una trasformazione geometrica,ad ogni punto della "figura" originaria corrisponde uno ed un solo punto della "figura" trasformata e viceversa.Si ha,però,che il punto P sarebbe il corrispondente di due punti (uno appartenente ad r ed uno appartenente ad s).Il che non rispetta la condizione di biunivocità.
Non so se quello che ho scritto si può definire "dimostrazione"...Fammi sapere.
Per il momento ti ringrazio.
Angela.
Con le mie attuali conoscenze(e grazie alle "dritte" che mi hai fornito nella tua prima risposta)io pensavo di dimostrare il teorema in questa maniera.Ti prego di correggermi se sbaglio.
Ho due rette r ed s tra loro parallele.Se,ragionando per assurdo,le due rette trasformate non fossero parallele,significherebbe che r ed s sono rette incidenti (appunto nel punto P).Dato che l'isometria è una trasformazione geometrica,ad ogni punto della "figura" originaria corrisponde uno ed un solo punto della "figura" trasformata e viceversa.Si ha,però,che il punto P sarebbe il corrispondente di due punti (uno appartenente ad r ed uno appartenente ad s).Il che non rispetta la condizione di biunivocità.
Non so se quello che ho scritto si può definire "dimostrazione"...Fammi sapere.
Per il momento ti ringrazio.
Angela.
Certo e' una dimostrazione.
Hai usato tante parole per dire (non so se questo concetto lo ricordi) che l'isometria vista come applicazione e' INIETTIVA (cioe' ,indicando l'applicazione con f, per ogni x =/ y si ha f(x) =/ f(y) ).
Attenzione. Hai scritto: "Ho due rette r ed s tra loro parallele.Se,ragionando per assurdo,le due rette trasformate non fossero parallele,significherebbe che r ed s sono rette incidenti", ma nel ragionamento pr assurdo non sono r ed s che si intersecano in P , ma le loro trasformate tramite f.
Platone
Hai usato tante parole per dire (non so se questo concetto lo ricordi) che l'isometria vista come applicazione e' INIETTIVA (cioe' ,indicando l'applicazione con f, per ogni x =/ y si ha f(x) =/ f(y) ).
Attenzione. Hai scritto: "Ho due rette r ed s tra loro parallele.Se,ragionando per assurdo,le due rette trasformate non fossero parallele,significherebbe che r ed s sono rette incidenti", ma nel ragionamento pr assurdo non sono r ed s che si intersecano in P , ma le loro trasformate tramite f.
Platone
E' esatto Platone...avrei dovuto usare il termine r' ed s' per indicare le rette trasformate...Ho omesso un particolare importante...ti ringrazio per avermelo fatto notare!
Angela.
Angela.
Puoi dimostrarlo anche in maniera analitica, senza ricorrere alla dimostrzione per assurdo. Se ti interessa fammelo sapere che ti fornisco volentieri la dimostrazione, altrimenti no perchè è un pò scocciante da dire! 
Fabio
Fabio
Perchè mai dovrebbe essere scocciante da dire...chi non è interessato sicuramente non perderà tempo a leggere.
Quindi non farti problemi e sbizzarrisciti pure...se ti è più semplice puoi anche inviarmi il file tramite l'e-mail ricavabile dal mio "profilo utente".
Ti ringrazio.
Angela.
Quindi non farti problemi e sbizzarrisciti pure...se ti è più semplice puoi anche inviarmi il file tramite l'e-mail ricavabile dal mio "profilo utente".
Ti ringrazio.
Angela.
Ciao Angela, non me ne sono scordato...
Solo che la dimostrazione non me la ricordo più e domattina la devo vedere da un libro che c'è a scuola.
A proposito, mi è venuto in mente che la dimostrazione è relativa alle trasformazioni affini. Se non ricordo male, le trasformazioni isometriche sono una branca delle trasformazioni affini. A domani!
Fabio
Solo che la dimostrazione non me la ricordo più e domattina la devo vedere da un libro che c'è a scuola.
A proposito, mi è venuto in mente che la dimostrazione è relativa alle trasformazioni affini. Se non ricordo male, le trasformazioni isometriche sono una branca delle trasformazioni affini. A domani!
Fabio
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