Irrazionalità di 0.123...
Vi chiedo se secondo voi è giusto argomentare cosi:
0.12345678910111213…..è aperiodico perché, qualunque sia il numero dei numeri naturali ( base 10) che si susseguono quello stesso numero può sempre essere preso come base del sistema numerico.
O forse modificandola per assurdo.
Ho dato per scontato che se un numero è rapporto di due interi lo è indipendentemente dalla base.
Io sono un po’ sospettoso. Non saprei dire.
0.12345678910111213…..è aperiodico perché, qualunque sia il numero dei numeri naturali ( base 10) che si susseguono quello stesso numero può sempre essere preso come base del sistema numerico.
O forse modificandola per assurdo.
Ho dato per scontato che se un numero è rapporto di due interi lo è indipendentemente dalla base.
Io sono un po’ sospettoso. Non saprei dire.
Risposte
Scusa la banalizzazione, non basterebbe dire che è aperiodico in quanto non periodico? E' difficile dimostrare la "non" esistenza di qualcosa (questo non riguarda solo la sfera matematica).
Supponiamo abbia un periodo e sia $k$ la lunghezza del periodo. Allora...
Faccio caso scemo, lascio a chi vuole, se vuole, la formalizzazione.
Suppongo che il periodo sia lungo 3 e che il periodo sia 360
Ovviamente avro' gruppi di cifre del tipo:
360361
13601361
1036010361
100360100361
10003601000361
1000036010000361
etc.
Quindi, per quanto grande possa essere l'antiperiodo, prima o poi mi trovo con blocchi di cifre che violano il fatto che 360 e' un periodo.
Per gli scettici: il periodo non puo' essere fatto di soli 9.
Faccio caso scemo, lascio a chi vuole, se vuole, la formalizzazione.
Suppongo che il periodo sia lungo 3 e che il periodo sia 360
Ovviamente avro' gruppi di cifre del tipo:
360361
13601361
1036010361
100360100361
10003601000361
1000036010000361
etc.
Quindi, per quanto grande possa essere l'antiperiodo, prima o poi mi trovo con blocchi di cifre che violano il fatto che 360 e' un periodo.
Per gli scettici: il periodo non puo' essere fatto di soli 9.
"silente":
Ho dato per scontato che se un numero è rapporto di due interi lo è indipendentemente dalla base.
Le proprietà dei numeri non dipendono dalla base scelta. Il numero resta sempre quello, se ne modifica solo la scrittura.
Il numero 12 è divisibile per 3 sempre, qualunque base si scelga per la scrittura dei due numeri...
Tutto chiaro e con tutti d’accordo (Amandy non ti ho capita).
Ma non era quello che avevo chiesto.
Siccome nel precedente argomento , discutendo con Gugo e Russell, mi sono accorto di non riuscire ad accettare le loro posizioni (nel senso che nel dibattito non mi persuado della fallacia delle mie) e siccome mi pare ragionevole, data la loro formazione ed almeno in partenza, muovere dall’assunto che sia più probabile che sia io ad essere in errore che non loro, vorrei cercare di capire dove stanno i miei guai con l’infinito.
In questo contesto non vi chiedevo come si dimostra l’irrazionalità di quel numero ma se quel modo di affrontare la questione fosse corretto o nascondesse delle insidie magari connesse al passaggio della base all’infinito.
Un’altra domanda evasa e forse pertinente: l’unicità della scomposizione in primi vale anche se i numeri sono infiniti. (Sempre se ha senso: forse non riesco ad accettare che N è l’insieme dei finiti……)
Se queste difficoltà a livello elementare (facciamo in 1°) sono fisiologiche e ritenete che sia meglio evitare per il momento di trattare l’argomento fatemelo sapere altrimenti invece che avanti con lo studio vado indietro.
Grazie a tutti
Ma non era quello che avevo chiesto.
Siccome nel precedente argomento , discutendo con Gugo e Russell, mi sono accorto di non riuscire ad accettare le loro posizioni (nel senso che nel dibattito non mi persuado della fallacia delle mie) e siccome mi pare ragionevole, data la loro formazione ed almeno in partenza, muovere dall’assunto che sia più probabile che sia io ad essere in errore che non loro, vorrei cercare di capire dove stanno i miei guai con l’infinito.
In questo contesto non vi chiedevo come si dimostra l’irrazionalità di quel numero ma se quel modo di affrontare la questione fosse corretto o nascondesse delle insidie magari connesse al passaggio della base all’infinito.
Un’altra domanda evasa e forse pertinente: l’unicità della scomposizione in primi vale anche se i numeri sono infiniti. (Sempre se ha senso: forse non riesco ad accettare che N è l’insieme dei finiti……)
Se queste difficoltà a livello elementare (facciamo in 1°) sono fisiologiche e ritenete che sia meglio evitare per il momento di trattare l’argomento fatemelo sapere altrimenti invece che avanti con lo studio vado indietro.
Grazie a tutti
Queste difficoltà sono secondo me fisiologiche, ma non per questo non se ne può parlare!!
A mio avviso il problema di fondo sta nel fatto che è difficile capire come procede la matematica e soprattutto capire che ogni concetto deve essere formalizzato a partire dagli assiomi scelti.
Prova a rispondere a questa domanda:
Cos'è esattamente l' "infinito" ??
A mio avviso il problema di fondo sta nel fatto che è difficile capire come procede la matematica e soprattutto capire che ogni concetto deve essere formalizzato a partire dagli assiomi scelti.
Prova a rispondere a questa domanda:
Cos'è esattamente l' "infinito" ??
Non so quanto sia onesto che io dia la mia idea di infinito, nel senso che non so fino a che punto è mia. (e non la sento limpida).
Ad un primo approccio mi viene da dire che infinito è ciò che non ha limitazioni. In questo senzo per me l'intervallo (1,2) è un esempio di infinito nei razionali.
Poi si nota che quell'intervallo è limitato anche se dall'esterno. Quindi l'idea tentenna ma forse non cade. Diciamo che non è limitato dall'interno?
Poi magari si scopre Galileo e la ruota e si osserva che quando si parla di infinito il tutto può essere "uguale" a una sua parte propria.
Potrei esser tenteto di prenderla come definizione di infinito.
Non lo faccio, stanti le mie conoscenze; non me la sento di prenderla come tale.
Ho preso atto che con gli infiniti succedono cose strane ma non ho idea se queste siano necessarie o sufficienti a definirlo.
Senza poi entrare nella distinzione, forse filosofica e per me inaccessibile ( e spero ai nostri fini irrilevante), tra infinito fisico matematico e assoluto.
Ho difficoltà a calarmi nel mondo assiomatico di Russell. Difficoltà di questo tipo. Con espressione infelice le direi "di stomaco".
L'infinito sarà ad un certo punto definito da una serie di assiomi che lo descrivono. Fin qui il mio io non si ribella.
Mi percuote l'idea che dietro questi assiomi non ci sia un'idea in base alla quale gli assiomi sono dati; per la quale sono proprio quelli.
A meno che l'idea non siano gli assiomi.
Siete davvero impagabili.
Ad un primo approccio mi viene da dire che infinito è ciò che non ha limitazioni. In questo senzo per me l'intervallo (1,2) è un esempio di infinito nei razionali.
Poi si nota che quell'intervallo è limitato anche se dall'esterno. Quindi l'idea tentenna ma forse non cade. Diciamo che non è limitato dall'interno?
Poi magari si scopre Galileo e la ruota e si osserva che quando si parla di infinito il tutto può essere "uguale" a una sua parte propria.
Potrei esser tenteto di prenderla come definizione di infinito.
Non lo faccio, stanti le mie conoscenze; non me la sento di prenderla come tale.
Ho preso atto che con gli infiniti succedono cose strane ma non ho idea se queste siano necessarie o sufficienti a definirlo.
Senza poi entrare nella distinzione, forse filosofica e per me inaccessibile ( e spero ai nostri fini irrilevante), tra infinito fisico matematico e assoluto.
Ho difficoltà a calarmi nel mondo assiomatico di Russell. Difficoltà di questo tipo. Con espressione infelice le direi "di stomaco".
L'infinito sarà ad un certo punto definito da una serie di assiomi che lo descrivono. Fin qui il mio io non si ribella.
Mi percuote l'idea che dietro questi assiomi non ci sia un'idea in base alla quale gli assiomi sono dati; per la quale sono proprio quelli.
A meno che l'idea non siano gli assiomi.
Siete davvero impagabili.
La risposta alla domanda che ti ho posto è: "non esiste una definizione di infinito".
Esiste una definizione di "insieme infinito" e di altri tipi di infinito, in matematica.
E' proprio questo il punto... facciamo fatica a venir fuori dalla questione perchè non ci intendiamo con precisione su quello di cui stiamo parlando.
Quanto all'intervallo (1,2) come sottoinsieme dei razionali, esso è un insieme infinito.
Però una riga dopo averlo proposto hai già un dubbio (legittimo), perchè la "limitatezza" dell'intervallo ti insospettisce.
Se avessimo chiare le definizioni di "limitato" e "insieme infinito" scopriremmo che sono perfettamente compatibili tra loro.
Quindi (1,2) è infinito (in un ben preciso significato) e limitato (in un ben preciso significato)!
Esiste una definizione di "insieme infinito" e di altri tipi di infinito, in matematica.
E' proprio questo il punto... facciamo fatica a venir fuori dalla questione perchè non ci intendiamo con precisione su quello di cui stiamo parlando.
Quanto all'intervallo (1,2) come sottoinsieme dei razionali, esso è un insieme infinito.
Però una riga dopo averlo proposto hai già un dubbio (legittimo), perchè la "limitatezza" dell'intervallo ti insospettisce.
Se avessimo chiare le definizioni di "limitato" e "insieme infinito" scopriremmo che sono perfettamente compatibili tra loro.
Quindi (1,2) è infinito (in un ben preciso significato) e limitato (in un ben preciso significato)!
Ah...guarda anche la risposta al topic sugli insiemi con elementi ripetuti... (nella sezione Generale)
"silente":
Non so quanto sia onesto che io dia la mia idea di infinito, nel senso che non so fino a che punto è mia. (e non la sento limpida).
Ad un primo approccio mi viene da dire che infinito è ciò che non ha limitazioni. In questo senzo per me l'intervallo (1,2) è un esempio di infinito nei razionali.
Poi si nota che quell'intervallo è limitato anche se dall'esterno. Quindi l'idea tentenna ma forse non cade. Diciamo che non è limitato dall'interno?
Qui fai confusione tra due concetti diversi: quello di insieme infinito e quello di insieme limitato, che non c'entrano niente l'uno con l'altro.
Per constatare l'infinitezza di un insieme ti basta avere a disposizione strumenti "deboli" (cioè quelli della Teoria degli Insiemi).
Per la limitatezza il discorso è diverso, poiché devi aver a disposizione un metodo, uno strumento che "misuri" le distanze tra i punti: questo strumento si chiama metrica e gli insiemi dotati di un metodo per misurare le distanze si chiamano spazi metrici.
Se hai a disposizione entrambi gli strumenti (ossia la Teoria degli Insiemi e la metrica) come succede in $RR$, puoi valutare simultaneamente l'infinitezza e la limitatezza degli insiemi: constaterai che esistono insiemi infiniti limitati (come l'intervallo $[1,2]$), insiemi infiniti non limitati (come l'intervallo $[1,+oo[$), insiemi finiti limitati (ad esempio ${1,2}$), però non possono esistere insiemi finiti illimitati.
Ricorda che in Matematica il linguaggio è meno ambiguo del linguaggio naturale. Infinitezza ed Illimitatezza sono cose ben diverse.
"silente":
Poi magari si scopre Galileo e la ruota e si osserva che quando si parla di infinito il tutto può essere "uguale" a una sua parte propria.
Potrei esser tenteto di prenderla come definizione di infinito.
Non lo faccio, stanti le mie conoscenze; non me la sento di prenderla come tale.
Quella che dai attribuendola a Galileo è la versione non formalizzata della definizione di Cantor di insieme infinito, come ho avuto già modo di citare nel thread precedente.
"silente":
Ho preso atto che con gli infiniti succedono cose strane ma non ho idea se queste siano necessarie o sufficienti a definirlo.
Senza poi entrare nella distinzione, forse filosofica e per me inaccessibile ( e spero ai nostri fini irrilevante), tra infinito fisico matematico e assoluto.
Ti dico una cosa, così, sottovoce.
L'unica cosa che possiamo affermare è questa: accettando gli assiomi della Teoria degli Insiemi è possibile costruire un insieme infinito.
Quest'ultima è una proposizione concernente gli insiemi, e non l'infinito.
"silente":
Ho difficoltà a calarmi nel mondo assiomatico di Russell. Difficoltà di questo tipo. Con espressione infelice le direi "di stomaco".
L'infinito sarà ad un certo punto definito da una serie di assiomi che lo descrivono. Fin qui il mio io non si ribella.
Mi percuote l'idea che dietro questi assiomi non ci sia un'idea in base alla quale gli assiomi sono dati; per la quale sono proprio quelli.
A meno che l'idea non siano gli assiomi.
L'infinito non è definito da nulla. In Matematica è definito il concetto di insieme infinito e basta.
Anche i simboli $+oo, -oo$ e $oo$ (questo simbolo denota l'infinito complesso) sono solo semplificazioni grafiche per indicare qualcosa di totalmente diverso: essi indicano rispettivamente due coppie ordinate (in particolare $-oo=(\emptyset ,QQ)$ e $+oo=(QQ,\emptyset)$) di insiemi ed un punto sulla sfera di Riemann.
Scusate questa volta non ci siamo fraintesi sono io che mi sono espresso proprio male 
. La distinzione tra limitato e infinito mi è chiara, almeno spero, volevo solo dire qualcosa di confusionato per spiegare che il mio approccio con l'infinito è un pò in divenire. Quando qualcosa non torna se ne cerca il perché.
Siete birbanti ed evadete la domanda iniziale. Ma l'idea di dare quella dimostrazione di irrazionalità è ammissibile o no?
Russell la tua faccenda del contare forse mi ha chiarito un annoso (facciamo mesoso) problema.
Ciao
. La distinzione tra limitato e infinito mi è chiara, almeno spero, volevo solo dire qualcosa di confusionato per spiegare che il mio approccio con l'infinito è un pò in divenire. Quando qualcosa non torna se ne cerca il perché.Siete birbanti ed evadete la domanda iniziale. Ma l'idea di dare quella dimostrazione di irrazionalità è ammissibile o no?
Russell la tua faccenda del contare forse mi ha chiarito un annoso (facciamo mesoso) problema.
Ciao
"silente":
Siete birbanti ed evadete la domanda iniziale. Ma l'idea di dare quella dimostrazione di irrazionalità è ammissibile o no?
Non ho evaso, ma ho notato la risposta di Fioravante e come sai ubi maior...
Non mi butto nella generalizzazione delle idee di Fioravante perchè non sono molto esperto del campo (anzi la rappresentazione decimale degli irrazionali mi dà anche alquanto fastidio
). Purtroppo le dimostrazioni in Matematica non si fanno con le sole parole e nemmeno con le sole idee; anzi serve una buona dose di tecnica e di malizia, doti che si acquistano con l'esperienza e lo studio: di Teoria dei Numeri sono abbastanza a secco e perciò non so giudicare se la tua idea per la dimostrazione sia sensata o no.
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