Iperbole riferit al centro e agli assi

[Verrena]

non so che formule applicare per risolvere il seguente problema, chiedo il vostro aiuto, per cortesia. Una iperbole riferita al centro e agli assi ha un vertice dell'asse traverso nel punto B(0;2) che dista dagli estremi del segmento che individua l'asse non traverso di misura $radice quadrata di7$
- scrivi l'equazione dell'iperbole
- per il vertice B conduci una retta in modo che la corda staccata dall'iperbole sia lunga $radice quadrata di 13$; scrivi l'equazione della retta

[_nicola de rosa]

"Verrena":non so che formule applicare per risolvere il seguente problema, chiedo il vostro aiuto, per cortesia. Una iperbole riferita al centro e agli assi ha un vertice dell'asse traverso nel punto B(0;2) che dista dagli estremi del segmento che individua l'asse non traverso di misura $radice quadrata di7$
- scrivi l'equazione dell'iperbole
- per il vertice B conduci una retta in modo che la corda staccata dall'iperbole sia lunga $radice quadrata di 13$; scrivi l'equazione della retta

L'iperbole con vertice sull'asse delle ordinate e che ha come asse trasverso l'asse delle ordinate ha equazione:
$x^2/a^2-y^2/b^2=-1$
Un vertice in $B=(0,2)$ comporta subito $b^2=4$
Inoltre la distanza di $sqrt(7)$ comporta $a^2=(7-4)=3$ e l'equazione diventa
$x^2/3-y^2/4=-1$

La retta passante per $B=(0,2)$ ha equazione $y=mx+2$ .
Intersechiamo tale retta con l'iperbole ottenendo:
$4x^2-3(mx+2)^2+12=0$ cioè $x^2(4-3m^2)-12mx=0$ da cui $x1=0$ ed $x2=(12m)/(4-3m^2)$. Sostituendo tali valori nell'equazione della retta $y=mx+2$ otteniamo
i punti staccati sull'iperbole $B=(0,+2)$, $C=((12m)/(4-3m^2),+(2*(4+3m^2)/(4-3m^2)))$

La distanza deve essere $d=sqrt(13)$ cioè $d^2=13$ cioè $(BC)^2=13$
Ora $BC^2=((12m)/(4-3m^2))^2+((2*(4+3m^2)/(4-3m^2))-2)^2=((12m)/(4-3m^2))^2+((12m^2)/(4-3m^2))=13$ e facendo i calcoli si trova:
$27m^4+456m^2-208=0$ che ha come soluzioni $m^2=4/9$ ed $m^2=-52/3$. Ovviamente $m^2=-52/3$ non è accettabile ed i valori di $m$ accettabili sono $m^2=4/9$ e quindi $m=+-2/3$ e la retta è
$y=+-2/3x+2$

[fu^2]

io lo risolverei coì invece

sai che il semiasse maggiore vale 2, quindi a=2
sai che il fuoco vale $sqrt7$, quindi c=$sqrt7$

sai anche che per l'iperbole vale la relazione $b^2=c^2-a^2$ = $b^2=7-4=3$

quindi l'equazione dell'iperbole con asse focale sulle ordinate(ovvero ha subito una traslazione di 90°rispetto alla forma canonica) ha equazione $y^2/4-x^2/3=1$

il secondo punto invece... allora la distanza del segmento deve essere $sqrt13$, sai che la distanza tra due punti è data da $d=sqrt((x-x°)^2+(y-y°)^2)$ e i due punti sono uno B(0,2) l'altrio P(x°,y°) quindi imposti l'equazione

$sqrt13=sqrt((0-x°)^2+(2-y°)^2))$
$13=x^2+4+y^2-4xy$ che riscritta $x^2+y^2-4xy-9=0$
ora hai due curve, una descrive l'iperbole, l'altra descrive l'iperbole che interseca nel punto P la tua iperbole, mettendole a sistema otterai il punto P.


poi trovi la retta passante per quei due punti e sei a posto($(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

[Verrena]

vi ringrazio di cuore.