Iperbole e parabole

[Coma]

Dopo aver disegnato la curva @: Y=x/(1-x) determinare l'equazione della parabola P avente per asse di simmetria l'asintoto orizzontale di @ e tangente a @ nell'origine O degli assi.
Calcolare l'area del segmento parabolico delimitato da P e dall'asintoto verticale di @.


Soluzione [P:X=Y^2/2 +Y; Area= 2radice di 3]




P.s. mi potete spiegare anche come determinare l'iperbole di un fascio sapendo solo che ha per asintoto la retta Y=2, per esempio? :D

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao Coma. Cercherò di darti delle indicazioni utili allo svolgimento dell'esercizio lasciando a te la parte tecnica cosicché possa esserti davvero utile.

Per disegnare @ occorre avere ben presente la funzione omografica

[math]f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}[/math]

che nel caso in cui si abbia

[math]c\ne 0[/math]

,

[math]a\cdot d \ne b\cdot c[/math]

il proprio grafico rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati rispettivamente di equazione

[math]y=\frac{a}{c}[/math]

e

[math]x=-\frac{d}{c}\\[/math]

.

Per quanto riguarda, invece, la determinazione dell'equazione cartesiana di P occorre innanzitutto porre molta attenzione sull'equazione del proprio asse. A quel punto dall'equazione dell'asse e sfruttando l'informazione sul punto di tangenza (che in quanto tale appartiene a P) si hanno già due equazioni utili da porre a sistema per determinare

[math]a, b, c[/math]

. La terza ed ultima occorre "cercarla" sfruttando l'informazione sulla tangenza alla curva @ nell'origine. In particolare, per definizione di funzioni tangenti, in quel dato punto i grafici delle due funzioni hanno in comune la stessa retta tangente. Dato che la funzione della curva @ è nota si può tranquillamente risalire all'equazione della retta tangente che posta a sistema con la generica equazione della parabola porge la terza equazione.


Sul segmento parabolico, che bada bene non è un segmento ma è la porzione di piano delimitata da una parabola ed una retta, è sufficiente conoscere il famoso teorema di Archimede secondo il quale l'area di un segmento parabolico equivale ai

[math]\frac{2}{3}[/math]

dell'area del parallelogramma circoscritto. Dato che in questo caso particolare quel parallelogramma è un rettangolo, ricavare l'area è davvero una banalità (una volta individuato il rettangolo avendo disegnato il tutto) e calcolandone i

[math]\frac{2}{3}[/math]

si ottiene l'area cercata.


Infine, sul fascio di iperboli dovresti dirci in che forma è dato. Qualora si trattasse di un fascio di iperboli equilatere, un'idea può essere quella di fare riferimento alla funzione omografica di cui ti ho parlato sopra.

Dai, ora prova a procedere coi conti, nel caso riscontrassi ulteriori difficoltà chiedi nuovamente che qualcuno correrà in tuo soccorso ;)

[Coma]

Ti ringrazio TeM per la spiegazione :)
devo dirti la verità ed essere sincero, io a matematica non sono ispirato e diciamo che sono rimasto indietro nell'ultimo mese... Ho cercato di recuperare ma purtroppo sono un testone e mi è dura da capire, comunque devo dire che mi hai risolto e spiegato bene anche se ci sono stato parecchio a capire il tutto :D
Grazie ancora TeM poi ti faccio sapere come mi è andata! :D