Iperbole
Salve ragazzi vorrei sapere come si svolge il seguente esercizio: Determina su quali rette passanti per l'origine l'iperbole di equazione x^2/2-y^2/36=1 stacca una corda di misura 3.
Grazie.
Grazie.
Risposte
Come hai ragionato?
Confermi che i dati sono questi -> $x^2/2-y^2/36=1$ ?
Confermi che i dati sono questi -> $x^2/2-y^2/36=1$ ?
"Bokonon":
Come hai ragionato?
Confermi che i dati sono questi -> $x^2/2-y^2/36=1$ ?
si confermo i dati sono questi. Sinceramente non si capisce molto bene dove debba trovarsi questa corda...
L'iperbole è simmetrica rispetto ad entrambi gli assi X e Y. Se la tagli con due assi verticali piazzati in $a$ e $-a$ troverai due coppie di punti la cui distanza reciproca è identica, no?
Quindi il problema ti chiede di identificare innanzitutto $a$.
Spezziamo l'iperbole in due parti e prendiamo la parte con $y>0$ ovvero $y=3sqrt(2)sqrt(x^2-2)$
Ora intersechiamo la curva con una retta verticale $x=a$ e la coordinata che otteniamo dovremo porla uguale a metà della corda, ovvero $y(a)=3sqrt(2)sqrt(a^2-2)=3/2$
Da cui $2sqrt(2)sqrt(a^2-2)=1$
Elevando al quadrato entrambo i membri otteniamo: $8a^2=17$ quindi $a=+-sqrt(17/8)$
Quindi abbiamo trovato i 4 punti su cui passeranno le rette passanti per l'orgine, ovvero:
$A=(-sqrt(17/8), 3/2)$ $B=(-sqrt(17/8), -3/2)$ $C=(sqrt(17/8), 3/2)$ $D=(sqrt(17/8), -3/2)$
Quindi il problema ti chiede di identificare innanzitutto $a$.
Spezziamo l'iperbole in due parti e prendiamo la parte con $y>0$ ovvero $y=3sqrt(2)sqrt(x^2-2)$
Ora intersechiamo la curva con una retta verticale $x=a$ e la coordinata che otteniamo dovremo porla uguale a metà della corda, ovvero $y(a)=3sqrt(2)sqrt(a^2-2)=3/2$
Da cui $2sqrt(2)sqrt(a^2-2)=1$
Elevando al quadrato entrambo i membri otteniamo: $8a^2=17$ quindi $a=+-sqrt(17/8)$
Quindi abbiamo trovato i 4 punti su cui passeranno le rette passanti per l'orgine, ovvero:
$A=(-sqrt(17/8), 3/2)$ $B=(-sqrt(17/8), -3/2)$ $C=(sqrt(17/8), 3/2)$ $D=(sqrt(17/8), -3/2)$
beh, comunque anche se il ragionamento che hai fatto si trova con il risultato che fornisce il libro, dando un occhiata su geogebra non è proprio esattamente 3, ma 3,21... facendo invece in un altro modo la retta che mi esce è di 2,84 che è più vicino a 3... quindi non so se il risultato del libro sia corretto.
Il metodo che ho usato è il seguente:
dato che queso segmento deve misurare 3, ho impostato l'equazione √x^2+(-36+18x^2)=3/2, dove -36+18x^2 è la y del segmento che corrisponde a quella dell'iperbole ; poi svolgendo i calcoli la x, quindi l'ascissa di questo segmento obliquo lungo 3/2 è di √153/76, e l'ordinata è di √9/38.
Il metodo che ho usato è il seguente:
dato che queso segmento deve misurare 3, ho impostato l'equazione √x^2+(-36+18x^2)=3/2, dove -36+18x^2 è la y del segmento che corrisponde a quella dell'iperbole ; poi svolgendo i calcoli la x, quindi l'ascissa di questo segmento obliquo lungo 3/2 è di √153/76, e l'ordinata è di √9/38.
Il testo parlava di rette passanti per l'origine; direi che Bokonon lo ha letto male ed ha cercato la soluzione fra le parallele all'asse $y$.
Poiché la generica retta per l'origine ha equazione $y=mx$, si deve inizialmente ricavare $x,y$ dal sistema
${(y=mx),(x^2/2-y^2/36=1):}$
e si trovano le due intersezioni dipendenti da $m$ e simmetriche fra loro rispetto all'origine; poi si impone che la loro distanza valga 3, ricavando così $m$. Una piccola abbreviazione dei calcoli si ha notando che, data la simmetria, ognuna di queste intersezioni deve distare $3/2$ dall'origine.
Salvo errori (oggi ne sto facendo parecchi) la mia soluzione è $m=+-sqrt(2/17)$
Aggiungo un consiglio per Alex7337: metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule; prima di inviare, clicca su Anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta che volevi. Il simbolo di radice si ottiene scrivendo sqrt(...) e mettendo al posto dei puntini quello che va sotto radice. Se si tratta di un numero o di un'unica lettera puoi non mettere la parentesi tonda: ad esempio, fra segni del dollaro, puoi scrivere sqrt 17.
Poiché la generica retta per l'origine ha equazione $y=mx$, si deve inizialmente ricavare $x,y$ dal sistema
${(y=mx),(x^2/2-y^2/36=1):}$
e si trovano le due intersezioni dipendenti da $m$ e simmetriche fra loro rispetto all'origine; poi si impone che la loro distanza valga 3, ricavando così $m$. Una piccola abbreviazione dei calcoli si ha notando che, data la simmetria, ognuna di queste intersezioni deve distare $3/2$ dall'origine.
Salvo errori (oggi ne sto facendo parecchi) la mia soluzione è $m=+-sqrt(2/17)$
Aggiungo un consiglio per Alex7337: metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule; prima di inviare, clicca su Anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta che volevi. Il simbolo di radice si ottiene scrivendo sqrt(...) e mettendo al posto dei puntini quello che va sotto radice. Se si tratta di un numero o di un'unica lettera puoi non mettere la parentesi tonda: ad esempio, fra segni del dollaro, puoi scrivere sqrt 17.
"Alex7337":
beh, comunque anche se il ragionamento che hai fatto si trova con il risultato che fornisce il libro, dando un occhiata su geogebra non è proprio esattamente 3, ma 3,21...
E' uno scherzo spero.
Non sai fare la distanza fra A e B e fra C e D e la calcoli ad occhio sul grafico?
Persino non conoscendo la formula della distanza fra due punti, si può giungere alla conclusione che $ bar(AB)=bar(CD)=3 $ sommando i valori assoluti delle ordinate, ovvero $3/2+3/2=3$.
"giammaria":
Il testo parlava di rette passanti per l'origine; direi che Bokonon lo ha letto male ed ha cercato la soluzione fra le parallele all'asse $y$.
No, Gianmaria. Mi sono fermato ai punti ma le due rette sono $y=+-sqrt(18/17)x$ e le corde AB e CD misurano 3.
Come l'hai interpretato tu?
Io vedo due rette che intersecano un'iperbole in 4 punti che staccano rispettivamente due corde uguali (non disegnate nel grafico perchè sono troppo vicine all'arco) sull'iperbole di lunghezza 3.
@Bokonon
Intendi $AB$ come corda? Non so quale sia la giusta interpretazione ma io pensavo a qualcosa tipo $\text(CC')$ e forse anche giammaria la vede così ... IMHO
Cordialmente, Alex
Intendi $AB$ come corda? Non so quale sia la giusta interpretazione ma io pensavo a qualcosa tipo $\text(CC')$ e forse anche giammaria la vede così ... IMHO
Cordialmente, Alex
@alex
Esatto, le due corde per me sono i segmenti AB e CD.
Non ho capito cosa intendi per $C C^{\prime}$..forse BC e AD?
Sarà la mia ignoranza ma quando penso ad una corda penso ad un segmento sotteso ad un arco, sbaglio?
Esatto, le due corde per me sono i segmenti AB e CD.
Non ho capito cosa intendi per $C C^{\prime}$..forse BC e AD?
Sarà la mia ignoranza ma quando penso ad una corda penso ad un segmento sotteso ad un arco, sbaglio?
Intendo con $C'$ il punto di intersezione della retta passante per l'origine e per $C$ che interseca il tratto di iperbole che si trova nel primo quadrante: anche quella è una corda, no?
In tal caso la corda sarebbe "anche" un segmento della stessa retta … tieni conto che il testo afferma che è l'iperbole che "stacca" una corda sulla retta …
In tal caso la corda sarebbe "anche" un segmento della stessa retta … tieni conto che il testo afferma che è l'iperbole che "stacca" una corda sulla retta …
@Alex Ma stai dicendo che una retta (diciamo con pendenza positiva) che passa per l'origine, incontra la parabola 4 volte.
2 volte nel primo quadrante e due volte nel terzo quadrante e quindi stacca due corde che si trovano su di essa?
2 volte nel primo quadrante e due volte nel terzo quadrante e quindi stacca due corde che si trovano su di essa?
Sì … e ovviamente c'è anche l'altra retta (simmetrica in questo caso)
Riferendomi alla tua figura, io intendo che deve essere $BC=AD=3$ e non mi pare che il testo possa avere altre interpretazioni.
Secondo me, una corda è il segmento che unisce due punti di una stessa figura e non è necessario che sottenda un arco; in circonferenza, ellisse e parabola lo fa sempre ma nell'iperbole può anche unire punti dei due rami diversi.
Una retta passante per l'origine e con pendenza positiva incontra l'iperbole in soli due punti (o in nessuno, ma lasciamo perdere questo caso), uno nel primo e l'altro nel terzo quadrante; a prima vista anch'io avevo pensato ai quattro punti di cui parli, ma riflettendoci ho capito che non era così.
Secondo me, una corda è il segmento che unisce due punti di una stessa figura e non è necessario che sottenda un arco; in circonferenza, ellisse e parabola lo fa sempre ma nell'iperbole può anche unire punti dei due rami diversi.
Una retta passante per l'origine e con pendenza positiva incontra l'iperbole in soli due punti (o in nessuno, ma lasciamo perdere questo caso), uno nel primo e l'altro nel terzo quadrante; a prima vista anch'io avevo pensato ai quattro punti di cui parli, ma riflettendoci ho capito che non era così.
In effetti, se passa per l'origine non può intersecare un ramo in due punti, dovrebbe essere "spostata più in là" quindi siccome il testo parla di iperbole che "stacca" un pezzo di retta rimane solo quello che ha detto giammaria …
Rispondo ad entrambi.
Lo so bene che una retta che passa per l'origine incontra la parabola in soli due punti...è un'equazione quadratica.
Infatti ero assai perplesso su ciò che sosteneva alex perchè pensavo di aver capito male io (Alex!)
Quindi ci sono due interpretazioni e la mia è effettivamente una corda nel senso classico del termine.
Inoltre l'OP ha detto che è la soluzione del libro...
Bene, così avrà due alternative
Lo so bene che una retta che passa per l'origine incontra la parabola in soli due punti...è un'equazione quadratica.
Infatti ero assai perplesso su ciò che sosteneva alex perchè pensavo di aver capito male io (Alex!)
Quindi ci sono due interpretazioni e la mia è effettivamente una corda nel senso classico del termine.
Inoltre l'OP ha detto che è la soluzione del libro...
Bene, così avrà due alternative
Il fatto è che il testo dice "Determina su quali rette passanti per l'origine l'iperbole di equazione x^2/2-y^2/36=1 stacca una corda di misura 3"
Quindi la corda da trovare è un "pezzo" di retta mentre nel tuo caso è una corda e basta
Quindi la corda da trovare è un "pezzo" di retta mentre nel tuo caso è una corda e basta
@Alex
Fino a due post fa pensavi di trovare una corda da una retta che passava per l'origine tagliando 4 volte la parabola.
Adesso non vedi più le corde (e credimi ho googlato per trovare una singola volta in cui una corda di un'iperbole è stata mai interpretata come un segmento che non è sotteso ad alcun arco, ma devo essere stato incredibilmente sfortunato).
E ignori persino che lo stesso OP abbia scritto che è il risultato del libro.
Stiamo entrando nel surreale! Io ne esco però...saluti.
Fino a due post fa pensavi di trovare una corda da una retta che passava per l'origine tagliando 4 volte la parabola.
Adesso non vedi più le corde (e credimi ho googlato per trovare una singola volta in cui una corda di un'iperbole è stata mai interpretata come un segmento che non è sotteso ad alcun arco, ma devo essere stato incredibilmente sfortunato).
E ignori persino che lo stesso OP abbia scritto che è il risultato del libro.
Stiamo entrando nel surreale! Io ne esco però...saluti.
Ma no … sottolineavo solo il fatto che il testo chiede una cosa ben precisa che non collima con la tua interpretazione … tutto qui …
Peraltro il punto che l'OP fornisce come soluzione
Il fatto che io abbia detto una cavolata non significa che le dica sempre
Peraltro il punto che l'OP fornisce come soluzione
"Alex7337":è proprio l'intersezione di un ramo dell'iperbole con la retta determinata da giammaria
… poi svolgendo i calcoli la x, quindi l'ascissa di questo segmento obliquo lungo 3/2 è di[size=150] √153/76, [/size]e l'ordinata è di [size=150]√9/38[/size].
Il fatto che io abbia detto una cavolata non significa che le dica sempre
Su Wolfram Mathworld la definizione di corda è questa:
"In plane geometry, a chord is the line segment joining two points on a curve.
The term is often used to describe a line segment whose ends lie on a circle."
Se cerchi "chord of hyperbola" trovi, per esempio,
Non è poi così strano …
"In plane geometry, a chord is the line segment joining two points on a curve.
The term is often used to describe a line segment whose ends lie on a circle."
Se cerchi "chord of hyperbola" trovi, per esempio,
Non è poi così strano …
"axpgn":
Il fatto che io abbia detto una cavolata non significa che le dica sempre
Figurati, per me non cambia nulla.
Piuttosto troverei più facile pensare che l'OP abbia riportato malissimo il testo.
Penso che anche nella tua esperienza abbia notato che la gente tende a riportare ciò che pensa di capire di un problema piuttosto che il problema in se.
C'è un esempio recente nella sezione di statistica...a cui nessuno infatti ha ancora risposto, perchè l'esposizione è fallata.
Ti dirò esattamente cosa penso. Ci sono due possibilità verosimili:
a) il testo parlava effettivamente di corde ma è stato riportato male perchè anche l'OP pensava come Gianmaria (che è stato a sua volta indotto a pensare in quella direzione)
b) il testo è stato riportato male e non si parla di corde.
Morale: chissene!
Ha entrambe le soluzioni e quella del libro, saprà arrangiarsi e io mi guardo il telefilm
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