Iperbole

[Elena41]

Ciao a tutti!

Vorrei chiedervi un aiuto e una conferma circa la soluzione di questo esercizio:

data l'iperbole di equazione:

\$ y = (2xcos\alpha) /(x-2sin\aplha) \$

determinare \( \aplpha \ ) in modo tale che la distanza tra i vertici sia \$ > 2sqrt(2) \$.

Mi sapreste aiutare?
Grazie!

[minomic]

Ciao, c'è stato qualche problema con le formule (togli gli slash davanti ai simboli di dollaro). Il testo è questo? $$
y=\frac{2x\cos\alpha}{x - 2\sin\alpha}
$$

[Elena41]

Sì, esatto.. Il testo è questo.. Scusate..

( anche togliendo gli \ non riesco a visualizzare le formule.. non capisco perchè.. )

[minomic]

Ok, ti dò un suggerimento: prendiamo una funzione omografica $$y = \frac{ax+b}{cx+d}, \qquad c \ne 0, ad \ne bc$$A questo punto sappiamo che i vertici si ottengono intersecando con la curva una retta parallela ad una delle bisettrici e passante per il centro dell'iperbole, cioè $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$.
Con un po' di calcoli troveremo le coordinate dei vertici espresse in funzione di $a, b, c, d$. Calcoliamo la loro distanza e infine la uguagliamo a $2\sqrt{2}$.

Inoltre possiamo notare una cosa: la nostra iperbole è $$
y=\frac{2x\cos\alpha}{x-2\sin\alpha} = \frac{(2\cos\alpha)x + 0}{1\cdot x + (-2\sin\alpha)}
$$così si nota che i parametri $b, c$ sono noti mentre gli altri sono da ricavare.

[Elena41]

Ok, ho capito.. Io avevo pensato di seguire questa strada:

1) Intersecare l’iperbole con la bisettrice y=x – 2sin\alpha + 2cos\alpha
2) I punti d’intersezione sono i vertici
3) Imporre che la distanza tra i vertici sia quella data

Il procedimento dovrebbe essere analogo al tuo..

[giammaria2]

@Elena4. Metti i segni del dollaro: forse tu non riesci a visualizzare le formule, ma gli altri sì. Hai provato con Ctrl-r e col tasto Anteprima?

[minomic]

"Elena4":Ok, ho capito.. Io avevo pensato di seguire questa strada:

1) Intersecare l’iperbole con la bisettrice y=x – 2sin\alpha + 2cos\alpha
2) I punti d’intersezione sono i vertici
3) Imporre che la distanza tra i vertici sia quella data

Il procedimento dovrebbe essere analogo al tuo..

Direi proprio di sì.
Riscrivo la retta con le formule$$
y = x -2\sin\alpha + 2\cos\alpha
$$Poi credo che tu debba considerare anche l'altro caso, in cui cioè la retta sia parallela all'altra bisettrice. Però direi che te la cavi con una simmetria (forse...)

[Elena41]

"giammaria":@Elena4. Metti i segni del dollaro: forse tu non riesci a visualizzare le formule, ma gli altri sì. Hai provato con Ctrl-r e col tasto Anteprima?

Ok, grazie.. In effetti io non riesco a visualizzare le formule, anche se metto il dollaro continuo a vedere il dollaro ma se gli altri vedono bene, lo farò sicuramente!

[Elena41]

"minomic":[quote="Elena4"]Ok, ho capito.. Io avevo pensato di seguire questa strada:

1) Intersecare l’iperbole con la bisettrice y=x – 2sin\alpha + 2cos\alpha
2) I punti d’intersezione sono i vertici
3) Imporre che la distanza tra i vertici sia quella data

Il procedimento dovrebbe essere analogo al tuo..

Direi proprio di sì.
Riscrivo la retta con le formule$$
y = x -2\sin\alpha + 2\cos\alpha
$$Poi credo che tu debba considerare anche l'altro caso, in cui cioè la retta sia parallela all'altra bisettrice. Però direi che te la cavi con una simmetria (forse...) [/quote]

Ok, grazie...