Invertibilità di una funzione e derivata

[HowardRoark]

Il primo e il secondo quesito sono banali.

Il terzo mi ha fatto pensare: come faccio a dedurre che una funzione sia invertibile in un intervallo conoscendo soltanto il grafico della sua derivata prima?

In sostanza dovrei riuscire a capire se nell'intervallo $[-2;3]$ la funzione è biunivoca, ma non ho capito come lo possa fare...

[Bokonon]

Il grafico ci dice che la funzione scende e raggiunge un minimo per x=-1
Poi sale e cambia concavità per x=0 e raggiunge un massimo per x=1 per poi scendere.
Quindi fra -2 e 0 ci sono valori diversi di x a cui corrisponderanno valori uguali della y.
Ergo non è invertibile.

[HowardRoark]

È vero. Se fosse biunivoca il grafico della derivata dovrebbe essere, nell'intervallo considerato, sempre positivo (o nullo) o sempre negativo (o nullo) immagino...vero?

[vict85]

Se una funzione è strettamente monotona in un intervallo allora è invertibile in quell'intervallo. Se però consideri intervalli disgiunti dovresti andare a vedere i valori che assumono negli estremi degli intervalli.

[HowardRoark]

"vict85": Se però consideri intervalli disgiunti dovresti andare a vedere i valori che assumono negli estremi degli intervalli.

Perché? Se è strettamente monotona non dovrebbe essere invertibile per ogni intervallo considerato?

[vict85]

Considera la funzione \(\displaystyle f(x) = x - \lfloor x\rfloor \). La sua derivata, dove è definita, è sempre positiva, ma la funzione non è invertibile.

[HowardRoark]

Ho capito. Riprendendo il tuo esempio, se considero un intervallo $[a;b] $con $a0$ la funzione non è più invertibile nell'intervallo $[a;b]$.

[vict85]

Ok, vedo che anche la funzione valore assoluto poteva andare come controesempio, ma in realtà mi riferivo a questa funzione https://it.wikipedia.org/wiki/Onda_a_dente_di_sega (non l'onda, ma la funzione che l'onda cerca di imitare). Il punto è che se tu prendi due intervalli disgiunti, il fatto che la funzione sia strettamente crescente in entrambi gli intervalli non rende la funzione automaticamente invertibile (seppur lo sia localmente). Ma avrei potuto prendere il seno come esempio e gli intervalli chiusi \([0, \pi/2]\) e \([2\pi, 5/2\pi]\).