Invalsi 2013/2014 - Triangolo isoscele

[-alex-99]

Nella prova Invalsi per le classi seconde non riesco a capire perché alla Domanda D23 ai punti c e d le risposte siano, rispettivamente, Falso e Vero.
D23) Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. L'angolo in C è la metà dell'angolo in B e AD è la bisettrice dell'angolo BAC.
a)...
b)...
c)L'area del triangolo ADC è il doppio dell'area del triangolo ABD (Falso)
d)AD:AC=BD:AB (Vero)

[carlogiannini]

Dimostriamolo Il contrario (per assurdo)
Se l'area di DAC fosse il doppio dell'area di DAB, avendo entrambi la stessa altezza AH (vedi foto) bisognerebbe che
CD = 2BD
Però:
CD = DA perché ADC è isoscele CAD=ACD=alfa
AD = AB perché il triangolo BAD è simile a ACB (hanno i tre angoli rispettivamente uguali),
quindi
AB = 2BD
Nel triangolo ACB (per similitudine) dovrebbe essere
AC = CB = 2AB
CB = 2(2BD) = 4BD
CD = CB - BD = 4BD - BD = 3BD
ASSURDO perché doveva essere
CD = 2BD
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Il secondo quesito discende banalmente dalla similitudine dei triangoli ACB e BAD

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Ho sbagliato foto. Dovrebbe essere questa

[-alex-99]

Io avevo fatto così: se l'area del triangolo ADC fosse il doppio di quella di ABD, allora CD=2BD. Poiché ABD è un triangolo isoscele (ABC=BDA), allora AB=AD. Ma AD=CD poiché ADC isoscele, per cui AB=CD. Poiché AB=2BD, allora CD=2BD... Perché? Cosa sbaglio?

[carlogiannini]

Hai fatto (correttamente) due volte lo stesso ragionamento e quindi torna. Il problema è che bisogna dimostrare che NON è vero. Quindi bisogna trovare qualcosa che va storto (per trovare l'assurdo). Quindi dobbiamo unire due ragionamenti diversi. Il modo che ho trovato io mi sembra un po troppo lungo e tortuoso ma al momento non me ne viene un altro più semplice. A te ti torna? Fammi sapere. Carlo
P.S. Un altro modo potrebbe essere considerare che se triangolo ADC è il doppio dell'area del triangolo ABD, allora ACB è il triplo di BAD e che il rapporto delle aree è 3, allora il rapporto tra i lati è

[math]\sqrt{3}[/math]

, fare le varie similitudini e dimostrar che non può essere DC=2DB

[-alex-99]

Grazie mille, leggendolo meglio ho capito!