Intersezioni tra retta e circonferenza

[simki]

Salve a tutti, sto trovando dei problemi nella risoluzione di questo esercizio per prepararmi al test di ingresso di ingegneria.
Esercizio: Determina il valore del parametro k affinchè la retta di equazione \( x = k \) incontri la circonferenza di equazione \( x^2 + y^2 + 4x - 6y +7 = 0 \) in due punti A e B tali che AB = 4

Spesso riusciate ad aiutarmi, grazie.

[teorema55]

Il problema non è difficile.

Disegna la circonferenza (per farti un'idea della situazione) e mettila a sistema con una retta verticale

$x=k$

ponendo, ovviamente, le limitazioni per $x$ che la geometria del problema impone.

Otterrai due soluzioni (anzi, in realtà, due coppie di soluzioni)

$A_1(k_1, y_1)$ e $B_1(k_1, y_2)$

e

$A_2(k_2, y_1)$ e $B_2(k_2, y_2)$

Ti basterà calcolare la distanza (verticale) tra $A_1$ e $B_1$ (o tra $A_2$ e $B_2$, sarà uguale), cioè la differenza tra le loro ordinate in valore assoluto, e porla uguale a $4$. La soluzione dell'equazione (in $k$ ) sarà il risultato che cerchi.

[curie88]

Ciao, come ti ha suggerito teorema55 va bene,ma puoi procede anche cosi:
Trasformi la circonferenza in:
$(x+2)^2+(y-3)^2=6$
Centro = $(-2;3)$
Raggio = $√6$
Nota che la retta è verticale quindi si forma un triangolo rettangolo che ha un cateto la semi misura AB,
e come ipotenusa il raggio.
L-altro cateto $x$ è la distanza dal centro da ricavare.

[teorema55]

Penso che siano corretti il procedimento e i dati della circonferenza. Poi però (se non ho capito male la tua costruzione) avrai la metà di $AB$ che sarà l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo con ipotenusa il diametro orizzontale

$d=2\sqrt6$

Poi applicherai II Euclide..............

[curie88]

Si puoi fare anche cosi, ma se non sbaglio, fai qualche passaggio in più. Verifico più tardi.
Puoi subito applicare Pitagora, se consideri il triangolo rettangolo OMA, dove M punto medio di AB, O centro circonferenza, e A estremo segmento, l-ipotenusa qui è OA.

[teorema55]

Sì, c'è un passaggio in più, ma i due risultati saranno sempre

$x=-2+-\sqrt2$