Intersezione figure piano cartesiano.
Rappresenta il rettangolo $ A'B'C'D' $, simmetrico del rettangolo ABCD di coordinate $ A=(-3,-2) $ , $ B=(3,-2) $, $ C=(3,2) $, $ D =(-3,2) $ rispetto alla retta $ BD $ e determina l'area di intersezione tra i due rettangoli.
Svolgimento:
Trovo l'equazione della retta $ BD $ $ y=-2/3 x $ , trovo coordinate della proiezione $ H $ di $ C $ su $ BD $ ; considerando che questo punto deve appartenere sia alla retta $ BD $ sia alla retta $ CH $ (la cui equazione riesco a ricavare $ y=3/2x-5/2 $ ).
Ascissa di $ H $ : $ -2/3 x = 3/2 x-5/2; $ $ x= 15/13 ; $ $ y=-10/13 $ .
Considerando che $ H $ è il punto medio di $ C C' $ , posso scrivere $ (x+3)/2 =15/13 $ ; quindi $ C'= (-9/13,-46/13) $ .
Procedendo con la stessa logica per $ A' $ , ottengo delle coordinate difficili da rappresentare; oltretutto il calcolo dell'area di intersezione risulta errato.
Svolgimento:
Trovo l'equazione della retta $ BD $ $ y=-2/3 x $ , trovo coordinate della proiezione $ H $ di $ C $ su $ BD $ ; considerando che questo punto deve appartenere sia alla retta $ BD $ sia alla retta $ CH $ (la cui equazione riesco a ricavare $ y=3/2x-5/2 $ ).
Ascissa di $ H $ : $ -2/3 x = 3/2 x-5/2; $ $ x= 15/13 ; $ $ y=-10/13 $ .
Considerando che $ H $ è il punto medio di $ C C' $ , posso scrivere $ (x+3)/2 =15/13 $ ; quindi $ C'= (-9/13,-46/13) $ .
Procedendo con la stessa logica per $ A' $ , ottengo delle coordinate difficili da rappresentare; oltretutto il calcolo dell'area di intersezione risulta errato.
Risposte
Ho fatto un po' di conti, $A'=(9/13, 46/13)$
Per trovare le coordinate dei vertici del parallelogrammo di intersezione bisogna intersecare la retta $r_(AB)$ con $r_(CC')$ che si incontrano in $E(1/3, -2)$. Allo stesso modo l'intersezione tra la retta $r_(CD)$ con $r_(AA')$ si ha in $F(-1/3, 2)$.
Il parallelogrammo AECF ha altezza 4 e base $bar(AE)=|-3-1/3| =10/3$, l'area viene $4*10/3=40/3$
Per trovare le coordinate dei vertici del parallelogrammo di intersezione bisogna intersecare la retta $r_(AB)$ con $r_(CC')$ che si incontrano in $E(1/3, -2)$. Allo stesso modo l'intersezione tra la retta $r_(CD)$ con $r_(AA')$ si ha in $F(-1/3, 2)$.
Il parallelogrammo AECF ha altezza 4 e base $bar(AE)=|-3-1/3| =10/3$, l'area viene $4*10/3=40/3$
A me viene una cosa così, vi torna? L'area mi viene $52/3$
Avrò sbagliato qualche conto
Ok, avevo trovato correttamente le coordinate dei punti simmetrici, solo mi sembrava di star sbagliando, perchè il testo parlava di rappresentare e pensavo fosse proibitivo usare un riferimento in tredicesimi. Ho abbozzato un disegno e ho visto che l'area di intesezione era un parallelogramma con altezza pari a $ 4 $ ; ho calcolato l'equazione della retta $ A'B $, ho posto $ y=2 $ trovando il punto di ascissa $ W $ che intersecava il lato $ CD $ ; ho calcolato la misura di $ WD $ e arrivo al risultato corretto con $ A=52/3 $ . Grazie a tutti.
Per trovare A' non occorre neanche fare dei conti perché basta il seguente ragionamento.
I punti B' e D' coincidono con B e D ed il loro punto medio è l'origine O. Poiché le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio, O è anche il punto medio di A'C', quindi le coordinate di A' sono quelle di C' cambiate di segno.
I calcoli per trovare W possono essere abbreviati se prima si dimostra che W sta sull'asse di BD, ma direi che non ne vale la pena: si abbreviano di poco e quella dimostrazione richiede un certo tempo.
I punti B' e D' coincidono con B e D ed il loro punto medio è l'origine O. Poiché le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio, O è anche il punto medio di A'C', quindi le coordinate di A' sono quelle di C' cambiate di segno.
I calcoli per trovare W possono essere abbreviati se prima si dimostra che W sta sull'asse di BD, ma direi che non ne vale la pena: si abbreviano di poco e quella dimostrazione richiede un certo tempo.
Con riferimento alla figura, i triangoli rettangoli $BCD$ e $BEO$ sono simili.
Quindi $(OE)/(OD)= (BC)/(CD)$
$(OE)/ (1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)) = (BC)/(CD)$
$OE = 1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)$
L'area
$BEDF = OE\ \times BD = 1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)\sqrt (BC^2+CD^2) = 1/2 (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)$
$BEDF = 1/2 \ 52 \ 4/6 = 52/3$
Quindi $(OE)/(OD)= (BC)/(CD)$
$(OE)/ (1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)) = (BC)/(CD)$
$OE = 1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)$
L'area
$BEDF = OE\ \times BD = 1/2 \sqrt (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)\sqrt (BC^2+CD^2) = 1/2 (BC^2+CD^2)(BC)/(CD)$
$BEDF = 1/2 \ 52 \ 4/6 = 52/3$
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