Interpretazione traccia
$ f(x)=1/(xln^2x) $
verificare che essa è infinitesima di ordine superiore al primo per x tendente a infinito, ma che non ha ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo campione 1/x
la prima parte della domanda sono riuscito a verificarla poichè, ponendo 1/x come infinitesimo campione di grado > 1, il limite è finito ma la seconda proprio non riesco a interpretarla. Ragionandoci su mi sa sembra che si contraddica con la risoluzione da me formulata per quanto riguarda la prima parte della domanda. Infatti, sono riuscito a trovare l'ordine che mi permette di confrontarla con l'infinitesimo campione.
Il risultato che mi da il libro poi mi confonde ancor più: "si confronti la funzione con l'infinitesimo campione 1/x e, per la seconda parte della domanda, si ragioni per assurdo supponendo che l'ordine di infinitesimo sia 1+a con a>0"
grazie mille in anticipo
verificare che essa è infinitesima di ordine superiore al primo per x tendente a infinito, ma che non ha ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo campione 1/x
la prima parte della domanda sono riuscito a verificarla poichè, ponendo 1/x come infinitesimo campione di grado > 1, il limite è finito ma la seconda proprio non riesco a interpretarla. Ragionandoci su mi sa sembra che si contraddica con la risoluzione da me formulata per quanto riguarda la prima parte della domanda. Infatti, sono riuscito a trovare l'ordine che mi permette di confrontarla con l'infinitesimo campione.
Il risultato che mi da il libro poi mi confonde ancor più: "si confronti la funzione con l'infinitesimo campione 1/x e, per la seconda parte della domanda, si ragioni per assurdo supponendo che l'ordine di infinitesimo sia 1+a con a>0"
grazie mille in anticipo
Risposte
Si tratta di un infinitesimo di ordine infrareale.
Prova a dimostrare che$lim_(x -> +oo) (1/(xln^2x))/(1/x^(1 + alpha)) = +oo $ , $AA alpha > 0$ ...
Prova a dimostrare che$lim_(x -> +oo) (1/(xln^2x))/(1/x^(1 + alpha)) = +oo $ , $AA alpha > 0$ ...
In sostanza è un infinitesimo di ordine superiore rispetto all'ordine di $1/x$ , ma che ha ordine inferiore rispetto ad ogni infinitesimo del tipo $1/x^(alpha + 1)$ con $alpha > 0$.
no perdonami ma sono ancora confuso tu come risolveresti la domanda in questione, tutti e due i punti intendo?
grazie mille . scusa per l'ignoranza
grazie mille
. scusa per l'ignoranza
Per dimostrare il primo punto basta provare che $lim_(x -> +oo) (1/(xln^2x))/(1/x) = 0 $. Per quanto concerne il secondo punto, invece, ti ho già scritto come fare:
"Seneca":
Prova a dimostrare che $lim_(x -> +oo) (1/(xln^2x))/(1/x^(1 + alpha)) = +oo $ , $AA alpha > 0$ ...
Scusa allora credo che la mia prof ha commesso qualche errore nelle fotocopie che ci ha dato.
Dai miei appunti risulta che :
"dati due infinitesimi f(x) e g(x), si dice che f(x) è di ordine $gamma$ rispetto a g(x) quando f(x)è dello stesso ordine di $[g(x)]^gamma$ cioè se:
$ lim_(x -> alpha)(f(x))/([g(x)]^gamma)=l !=0 $
dunque:
1- $(1/x)^1$ non può essere infinitesimo campione poiché il limite darebbe come risultato 0
2- ammesso e non concesso che stia proprio qui l'errore - ossia che 0 è un risultato accettabile - l'infinitesimo campione è $(1/x)^1$ dunque, l'infinitesimo è di ordine 1 e non superiore all'1. Questo contraddice ancor più la seconda parte della domanda, infatti, l'ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo campione è 1 - non si può dire che non ce l'abbia -
grazie per la pazienza
Dai miei appunti risulta che :
"dati due infinitesimi f(x) e g(x), si dice che f(x) è di ordine $gamma$ rispetto a g(x) quando f(x)è dello stesso ordine di $[g(x)]^gamma$ cioè se:
$ lim_(x -> alpha)(f(x))/([g(x)]^gamma)=l !=0 $
dunque:
1- $(1/x)^1$ non può essere infinitesimo campione poiché il limite darebbe come risultato 0
2- ammesso e non concesso che stia proprio qui l'errore - ossia che 0 è un risultato accettabile - l'infinitesimo campione è $(1/x)^1$ dunque, l'infinitesimo è di ordine 1 e non superiore all'1. Questo contraddice ancor più la seconda parte della domanda, infatti, l'ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo campione è 1 - non si può dire che non ce l'abbia -
grazie per la pazienza
Stai facendo confusione. Il punto focale della questione è che non esiste alcun $gamma$ reale per cui $lim_(x -> +oo) (1/(x ln^2(x)))/(1/x^gamma) = l in RR - {0}$
Come fai a dirlo? Come dimostri questa affermazione?
"gianni.erario":
l'ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo campione è 1 - non si può dire che non ce l'abbia
Come fai a dirlo? Come dimostri questa affermazione?
"Seneca":
Stai facendo confusione. Il punto focale della questione è che non esiste alcun $gamma$ reale per cui $lim_(x -> +oo) (1/(x ln^2(x)))/(1/x^gamma) = l in RR - {0}$
Se questo è ciò che chiede la seconda parte della domanda, allora non riesco a comprendere il risultato poiché anche quando $alpha=0$ non esiste alcun $alpha+1$ reale per cui $lim_(x -> +oo) (1/(x ln^2(x)))/((1/x^(alpha+1))) = l in RR - {0}$ e non solo quando $alpha >0$ - come invece afferma il risultato.
Per quanto riguarda la prima parte credo che ho commesso alcuni errori nell'interpretarla ma ora penso di aver capito. Correggimi se sbaglio: la funzione è di ordine > 1 rispetto a 1/x poiché il risultato è 0 - ciò è dovuto al fatto che la f(x) da come risultato: $oo$ ,mentre, l'infinitesimo campione: $1$ - nel limite in questione- . In altre parole f(x) è di ordine superiore all'infinitesimo campione?
grazie ancora
"gianni.erario":
Se questo è ciò che chiede la seconda parte della domanda, allora non riesco a comprendere il risultato poiché anche quando $alpha=0$ non esiste alcun $alpha+1$ reale per cui $lim_(x -> +oo) (1/(x ln^2(x)))/((1/x^(alpha+1))) = l in RR - {0}$ e non solo quando $alpha >0$ - come invece afferma il risultato.
Riassumiamo. Ci proponiamo di studiare il limite $lim_(x -> +oo) (1/(x ln^2(x)))/((1/x^(alpha+1))) $
La prima parte dell'esercizio chiede di verificare che, per $alpha = 0$, il limite risulti $0$.
La seconda parte chiede di verificare che $AA alpha > 0$ il limite risulti infinito.
Fine.
"gianni.erario":
Per quanto riguarda la prima parte credo che ho commesso alcuni errori nell'interpretarla ma ora penso di aver capito. Correggimi se sbaglio: la funzione è di ordine > 1 rispetto a 1/x poiché il risultato è 0 - ciò è dovuto al fatto che la f(x) da come risultato: $oo$ ,mentre, l'infinitesimo campione: $1$ - nel limite in questione- . In altre parole f(x) è di ordine superiore all'infinitesimo campione?
La parte in verde è detta molto male, ma dovrebbe essere corretta. La parte in rosso è arabo.
okok è un po' quello che intendevo dire io, solo che mi sono espresso male.
Grazie mille
Grazie mille
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