Integrazione per parti

[barbarossa87]

Non mi è molto chiaro questo metodo...
Quando è che occorre integrare più di una volta?
Mi potete aiutare a risolvere questi due integrali?

xe^x dx

(x^2)senx dx

[david_e1]

Integrare per parti vuol semplicemente dire applicare la formula di Liebnitz della derivazione del prodotto. Se int indica l'integrale (inteso come "anti-derivata" (Rieman possa avere pieta' della mia anima per cio' che ho appena scritto)):

int f dg = f g - int df g

Nel primo caso e^x lo vedi come la derivata di e^x (si lo so' e' una cosa da malati... ma funziona)

Poi: int x e^x = x e^x - int e^x = e^x ( x - 1 ) + C

Nel secondo sen(x) lo vedi come la derivata di -cos(x) poi.... questo lo lascio fare a te comunque e' uguale a quello sopra solo che devi integrare per parti due volte.

L'integrale per parti si usa spesso quando ci sono funzioni tipo exp o sin affiancate da potenze intere di x. Integrando per parti si "abbatte" il grado di x di uno ad ogni passaggio fino a che non si leva dalle balle e non si rimane con una funzione che si sa' integrare "a occhio".
Un altro uso classico e' per integrare (sin(x))^2 (o cos), ma questo non te lo faccio perche' lo vedrai sicuramente....

Siccome l'obbiettivo e' eliminare x^n e si toglie un grado ogni volta bisognera' integrare per parti n volte vedendo sempre come funzione "derivata" quella che affianca x e mai x (altrimenti si ottiene l'effetto contrario).

[Nidhogg]