Integrazione di funzione razionali fratte
Ciao,buona pasqua,sto facendo esercizio sull'integrazione di funzioni razionali fratte e non mi è chiara una cosa . Ho capito che quando il delta è maggiore di 0 scrivo la frazione come somma di frazioni aventi come denominatori i fattori trovati(A e B),lo stesso vale per il delta = a 0 (mi devo ricordare però di elevare alla seconda il denominatore di una delle 2 funzioni) e se il delta è minore di 0 riconduco la frazione all'integrale dell'arcotangente.Il mio dubbio è emerso in questa frazione $ ∫ (x^2-3x)/(2x^2-6x+8)$ essa ha il delta del denominatore maggiore di 0 ma non riesco a risolvere come detto sopra ;quindi ho pensato di scomporla in un modo diversa (con un pò di fantasia ) $((A)/(x-4))+((Bx +C)/(x-2))$ ed il risultato mi viene corretto ;perciò vi vorrei chiedere esiste una regola generale che mi permette di dividere la frazione come somma di due frazioni aventi come denominatori i fattori della trovati,in modo tale da facilitare l'integrazione?
Risposte
"andrs":
Il mio dubbio è emerso in questa frazione $ ∫ (x^2-3x)/(2x^2-6x+8)$ essa ha il delta del denominatore maggiore di 0
Buona pasqua anche a te.
Errore, il discriminante del polinomio a denominatore è negativo! e nota che puoi raccogliere un [tex]2[/tex] sempre a denominatore.
La descrizione della soluzione è perfetta, quando il grado del numeratore è minore di quello del denominatore; nel caso siano uguali, o quando il numeratore ha grado maggiore, devi prima eseguire la divisione. In effetti non hai fatto altro che rimandare la divisione alla seconda frazione, che sicuramente hai separato prima di integrare.
Grazie a entrambi per le risposte.Mi sono sorti altri problemi :
1-Come si risolve questo integrale? $∫ 3/(x+√(x^2+9))dx$ Ho provato a risolvere con il metodo della sostituzione (che mi sembrava il più saggio in questo caso ma non mi viene fuori il risultato.
2-Inoltre , mi potete dire come si fa una divisione tra polinomi , ad esempio la divisione tra $x^2-3x$ e $x^2-6x+8$ ?
3-Ho un problema anche nella risoluzione di questo integrale che sembra semplice $ ∫ x /(√1-x)dx$ il risultato è $-2/3 (√1-x)(x+2)$
4-Questo è l'ultimo che non mi viene $∫sen^3x cos ^4x dx$
1-Come si risolve questo integrale? $∫ 3/(x+√(x^2+9))dx$ Ho provato a risolvere con il metodo della sostituzione (che mi sembrava il più saggio in questo caso ma non mi viene fuori il risultato.
2-Inoltre , mi potete dire come si fa una divisione tra polinomi , ad esempio la divisione tra $x^2-3x$ e $x^2-6x+8$ ?
3-Ho un problema anche nella risoluzione di questo integrale che sembra semplice $ ∫ x /(√1-x)dx$ il risultato è $-2/3 (√1-x)(x+2)$
4-Questo è l'ultimo che non mi viene $∫sen^3x cos ^4x dx$
Io vedo solo un sacco di punti di domanda... E' un problema soltanto mio?
Eh,penso di sì.
Li riscrivo:
1. $\int 3/(x+sqrt(x^2 +9)) dx$
3. $\int x/(sqrt(1-x)) dx$
4. $\int sin^3 x cos^4 x dx$
Sono questi?
1. $\int 3/(x+sqrt(x^2 +9)) dx$
3. $\int x/(sqrt(1-x)) dx$
4. $\int sin^3 x cos^4 x dx$
Sono questi?
Sì esatto.
Cerco di darti un paio di dritte.
1. Così a occhio credo che tu debba servirti di una sostituzione con le funzioni iperboliche. Conosci?
3. Questo si risolve facilmente ponendo $x=sin^2 t$;
4. Questo potresti risolverlo per parti, osservando che $sinx cos^4 x$ è la derivata di $-1/5 cos^5 x$.
1. Così a occhio credo che tu debba servirti di una sostituzione con le funzioni iperboliche. Conosci?
3. Questo si risolve facilmente ponendo $x=sin^2 t$;
4. Questo potresti risolverlo per parti, osservando che $sinx cos^4 x$ è la derivata di $-1/5 cos^5 x$.
1.no non le ho fatte
2.bo,non mi viene comunque
3-vine ancora più complicato di prima
Grazie in ogni caso
2.bo,non mi viene comunque
3-vine ancora più complicato di prima
Grazie in ogni caso
"andrs":
2.bo,non mi viene comunque
3. Ponendo $x=sen^2 t$ si ha quindi $dx=2senxcosx dt$; operando pertanto la sostituzione si ottiene $\int (sen^2 t)/sqrt(1-sen^2 t) 2sintcost dt=\int (sen^2 t)/cost 2sentcost dt=\int 2sen^3t dt=2\int sent(1-cos^2t) dt=2\int sent dt - 2\int cos^2 t sent dt$... Riesci a concludere?
3-vine ancora più complicato di prima
4. Pare impossibile. Non ho suggerito quivi alcuna sostituzione, quanto una diversa prospettiva di veduta. $\int sen^3 x cos^4 x dx=\int sen^2x senx cos^4 dx$; osservando quindi che $g(x)=sen^2 x$, $g'(x)=2senxcosx$, $f'(x)=cos^4 x senx$ e $f(x)=-1/5 cos^5 x$, si può applicare la regola dell'integrazione per parti secondo cui $\int f'(x)g(x) dx=f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$.
Tralascio per ovvi motivi ulteriori delucidazioni circa l'esercizio n°1.
Per la divisione tra polinomi la spiegazione è abbastanza lunga, ti conviene guardare nel tuo libro di testo di prima superiore oppure qui Cap. 5 par. 2
2.Ok,perfetto nel punto 2 avevo fatto un errore di distrazione .Ma vorrei capire una cosa utilizzando questa tecnica nel risultato mi viene fuori $arcsen^2(x)$ e nel risultato del libro non c'è,che faccio?
3-sì avevo capito,lo proverò a rifare
3-sì avevo capito,lo proverò a rifare
1. Se non conosci le funzioni iperboliche, questo $\int 3/(x+sqrt(x^2 +9)) dx$ lo puoi risolvere per sostituzione ponendo $x+sqrt(x^2 +9)=t$, ci vuole un po' di lavoro, ma dovrebbe venire una razionale fratta
3. Su questo $\int x/(sqrt(1-x)) dx$ basta porre $1-x=t^2$
3. Su questo $\int x/(sqrt(1-x)) dx$ basta porre $1-x=t^2$
Innanzitutto grazie per l'aiuto che mi date.
1.il risultato che mi viene con il procedimento che mi suggerisci te (che a mio parere è il migliore ,l'avevo provato già in precedenza)è $3/2(ln( x^2+ (√x^2+9))-(9/2 )1/(x^2+(√x^2+9))$ ma il risultato del libro è diverso,perciò suppongo che il libro abbia sbaglito
1.il risultato che mi viene con il procedimento che mi suggerisci te (che a mio parere è il migliore ,l'avevo provato già in precedenza)è $3/2(ln( x^2+ (√x^2+9))-(9/2 )1/(x^2+(√x^2+9))$ ma il risultato del libro è diverso,perciò suppongo che il libro abbia sbaglito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo