Integrazione delle funzioni razionali
Potete aiutarmi a capire come si fa quest'integrale?
$∫3/(4x^2+8x+7) dx$
Risultato: $(√3) / 2 arctan ((2x+2)/(√3)) +c$
$∫3/(4x^2+8x+7) dx$
Risultato: $(√3) / 2 arctan ((2x+2)/(√3)) +c$
Risposte
Il procedimento è standard e rientra nella casistica del denominatore con il discriminante $\Delta < 0$. Si completa il quadrato a denominatore (dopo aver raccolto il $4$, aggiungi e sottrai $1$):
\[ \frac{3}{4} \frac{1}{( x^2 + 2x + 1 ) - 1 + 7/4} = \frac{3}{4} \frac{1}{( x + 1 )^2 + 3/4} \]
A questo punto si vuole ottenere qualcosa del tipo $\frac{3}{4} \frac{1}{(\text{...})^2 + 1}$, quindi si raccoglie $3/4$ a denominatore
\[ = \frac{3}{4} \frac{1}{( \frac{2x + 2}{\sqrt{3}} )^2 + 1} \]
A questo punto è fatta, perché cambiando variabile nell'integrale, ponendo $y = \frac{2x + 2}{\sqrt{3}}$, ci si riconduce a calcolare (a meno di qualche costante a moltiplicare), il seguente integrale immediato:
\[ \int \frac{1}{y^2 + 1} \text{ d} y .\]
\[ \frac{3}{4} \frac{1}{( x^2 + 2x + 1 ) - 1 + 7/4} = \frac{3}{4} \frac{1}{( x + 1 )^2 + 3/4} \]
A questo punto si vuole ottenere qualcosa del tipo $\frac{3}{4} \frac{1}{(\text{...})^2 + 1}$, quindi si raccoglie $3/4$ a denominatore
\[ = \frac{3}{4} \frac{1}{( \frac{2x + 2}{\sqrt{3}} )^2 + 1} \]
A questo punto è fatta, perché cambiando variabile nell'integrale, ponendo $y = \frac{2x + 2}{\sqrt{3}}$, ci si riconduce a calcolare (a meno di qualche costante a moltiplicare), il seguente integrale immediato:
\[ \int \frac{1}{y^2 + 1} \text{ d} y .\]
Grazie! Sono difficilissimi da svolgere, ci vuole molto ragionamento, non ci sarei mai arrivato. Ho un piccolo problema, mi trovo $3/4$ al posto di $(√3)/2$. Perché?
Perché non hai ancora tenuto conto del differenziale di $ \frac{2x + 2}{\sqrt{3}}$
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