Integrare...
Non riesco a capire proprio come risolvere l'integrale di $int((e^x)*(senx)^2)$ il risultato è $(e^x)/10*(5-4senxcosx-cos(2x))+c$ ho provato per parti per sostituzione ma nada... rimane sempre quell'e^x e una funzione trigonometrica che non riesco a integrare... Qualcke idea?
Risposte
usa le formule di bisezione trasformando $inte^xsen^2xdx=inte^x((1-cos2x)/2)dx=1/2inte^x-1/2inte^xcos2xdx$.
Il primo è un integrale elementare e il secondo lo risolvi per parti (due volte), considerando $e^x$ come fattore differenziale e $cos2x$ come fattore finito. Dopodichè ti troverai un'equazione in cui l'incognita sarà $inte^xcos2xdx$ e che dovrai portare al primo membro...scoprirai così dal secondo membro qual è la sua primitiva! Fammi sapere!
Il primo è un integrale elementare e il secondo lo risolvi per parti (due volte), considerando $e^x$ come fattore differenziale e $cos2x$ come fattore finito. Dopodichè ti troverai un'equazione in cui l'incognita sarà $inte^xcos2xdx$ e che dovrai portare al primo membro...scoprirai così dal secondo membro qual è la sua primitiva! Fammi sapere!
$inte^x\ sen^2x\ dx$ con le formule di bisezione si trasforma in
$inte^x\ (1-cos2x)/2\ dx$, ovvero:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos2x\ dx$; applicando ancora le formule di bisezione al $cos\ 2x$ si ricava:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ (cos^2x-sen^2x)\ dx$, da cui si ottiene:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos^2x\ dx +\ 1/2 int e^x\ sen^2x\ dx = inte^x\ sen^2x\ dx$, portando al secondo membro il termine $int e^x\ sen^2x\ dx $ si ha:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos^2x\ dx = 1/2\ inte^x\ sen^2x$ da cui:
$inte^x\ - \ int e^x\ cos^2x\ dx = \ inte^x\ sen^2x$. Con un'ulteriore applicazione delle formule di bisezione al $cos^2x$ si ha:
$e^x\ - int e^x\ ((1+cos2x)/2)\ dx = e^x\ - 1/2 int e^x - 1/2 int e^x cos2x \ dx$, che dà:
$1/2\ e^x - 1/2 int e^x cos2x \ dx$; l'integrale al secondo termine si ottiene per parti considerando $e^x$ fattore finito:
$e^x(-2sen\ 2x)\ -\ e^x\ cos\ 2x$, pertanto la situazione ora è:
$1/2\ e^x - 1/2\ (e^x(-2sen\ 2x)\ -\ (-e^x\ cos\ 2x))$. Sviluppando il $sen\ 2x = 2\ senx\ cosx$, si ha:
$1/2 e^x - 1/2(-4e^xsenxcosx+e^xcos2x)$ e, mettendo in evidenza il termine $1/2 e^x$, ottengo:
$1/2e^x(1-4senxcosx-cos2x)$
Questo è quanto trovo.
$inte^x\ (1-cos2x)/2\ dx$, ovvero:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos2x\ dx$; applicando ancora le formule di bisezione al $cos\ 2x$ si ricava:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ (cos^2x-sen^2x)\ dx$, da cui si ottiene:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos^2x\ dx +\ 1/2 int e^x\ sen^2x\ dx = inte^x\ sen^2x\ dx$, portando al secondo membro il termine $int e^x\ sen^2x\ dx $ si ha:
$1/2inte^x\ - 1/2 int e^x\ cos^2x\ dx = 1/2\ inte^x\ sen^2x$ da cui:
$inte^x\ - \ int e^x\ cos^2x\ dx = \ inte^x\ sen^2x$. Con un'ulteriore applicazione delle formule di bisezione al $cos^2x$ si ha:
$e^x\ - int e^x\ ((1+cos2x)/2)\ dx = e^x\ - 1/2 int e^x - 1/2 int e^x cos2x \ dx$, che dà:
$1/2\ e^x - 1/2 int e^x cos2x \ dx$; l'integrale al secondo termine si ottiene per parti considerando $e^x$ fattore finito:
$e^x(-2sen\ 2x)\ -\ e^x\ cos\ 2x$, pertanto la situazione ora è:
$1/2\ e^x - 1/2\ (e^x(-2sen\ 2x)\ -\ (-e^x\ cos\ 2x))$. Sviluppando il $sen\ 2x = 2\ senx\ cosx$, si ha:
$1/2 e^x - 1/2(-4e^xsenxcosx+e^xcos2x)$ e, mettendo in evidenza il termine $1/2 e^x$, ottengo:
$1/2e^x(1-4senxcosx-cos2x)$
Questo è quanto trovo.
Si può anche fare così:
$\int e^x\sin^2(x)dx=$ (per parti) $e^x\sin^2(x)-\int e^x 2\sin(x)\cos(x) dx=$ (per parti ancora)
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+\int 2e^x (\cos^2(x)-\sin^2(x)) dx=$
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+\int 2e^x (1-2\sin^2(x)) dx=$
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+2e^x-\int 4e^x \sin^2(x) dx$
riportando a sinistra l'ultimo integrale
$5\int e^x\sin^2(x)dx=e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+2e^x$
da cui
$\int e^x\sin^2(x)dx=1/5e^x\sin^2(x)-2/5 e^x \sin(x)\cos(x)+2/5e^x$.
Eeeps viene diverso dai vostri... - il mio è più breve però!
$\int e^x\sin^2(x)dx=$ (per parti) $e^x\sin^2(x)-\int e^x 2\sin(x)\cos(x) dx=$ (per parti ancora)
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+\int 2e^x (\cos^2(x)-\sin^2(x)) dx=$
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+\int 2e^x (1-2\sin^2(x)) dx=$
$e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+2e^x-\int 4e^x \sin^2(x) dx$
riportando a sinistra l'ultimo integrale
$5\int e^x\sin^2(x)dx=e^x\sin^2(x)-2e^x \sin(x)\cos(x)+2e^x$
da cui
$\int e^x\sin^2(x)dx=1/5e^x\sin^2(x)-2/5 e^x \sin(x)\cos(x)+2/5e^x$.
Eeeps viene diverso dai vostri... - il mio è più breve però!
Mi correggo - mettendo $\sin^2(x)=(1-\cos(2x))/2$ nel mio integrale torna il risultato indicato da V3rgil
uuu grazie a tutti ;D
Ho capito in che sbagliavo... xD non sbagliavo semplicemente non ricordavo che potevo portare anche all'altro membro gli integrali ;D
Grazie per l'aiutooo
Ho capito in che sbagliavo... xD non sbagliavo semplicemente non ricordavo che potevo portare anche all'altro membro gli integrali ;D
Grazie per l'aiutooo
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