Integrali per sostituzione
Mi è stato insegnato, al liceo, che il metodo di integrazione per sostituzione prevede che si scelga una "porzione" della funzione integranda da rinominare $t$ e si consideri che $dt=f'(x)dx$ dove la $f'$ rappresenta la derivata di quella parte di funzione ridenominata $t$.
Ho da poco appreso un metodo formalmente un po' differente che però mi disorienta assai!
Consiste nella semplice applicazione della formula $int(f(x))dx = int (f(phi(t))*phi'(t)) dt$, dove $phi(t)$ dovrebbe rappresentare quella "porzione" di cui sopra e $phi'(t)$ la sua derivata. Per esempio, qui posso stabilire che $phi(t)=t^2$ e $phi'(t)=2t$, e cercare di ottenere il secondo membro della suddetta equazione per poter applicare la formula:
$int(t*e^(-t^2))dt = 1/2 int(2t*e^(-t^2))dt =
Ma $x = phi(t)$ (O è proprio qui che sbaglio?)
Quindi
$1/2int(e^-phi(t))dt = 1/2int(e^(-x))dx = -1/2e^(-x)+c$
Se però stabilissi che $phi(t)=-t^2$ e $phi'(t)=-2t$, il risultato non sarebbe differente?
$int(t*e^(-t^2))dt = -1/2 int(-2t*e^(-t^2))dt$ e allora $-1/2int(e^(phi(t)))dt = -1/2int(e^x)dx$
che dà come risultato $-1/2e^x+c$....???
Grazie anticipatamente a chiunque mi aiuterà!
Andrea
Ho da poco appreso un metodo formalmente un po' differente che però mi disorienta assai!
Consiste nella semplice applicazione della formula $int(f(x))dx = int (f(phi(t))*phi'(t)) dt$, dove $phi(t)$ dovrebbe rappresentare quella "porzione" di cui sopra e $phi'(t)$ la sua derivata. Per esempio, qui posso stabilire che $phi(t)=t^2$ e $phi'(t)=2t$, e cercare di ottenere il secondo membro della suddetta equazione per poter applicare la formula:
$int(t*e^(-t^2))dt = 1/2 int(2t*e^(-t^2))dt =
Ma $x = phi(t)$ (O è proprio qui che sbaglio?)
Quindi
$1/2int(e^-phi(t))dt = 1/2int(e^(-x))dx = -1/2e^(-x)+c$
Se però stabilissi che $phi(t)=-t^2$ e $phi'(t)=-2t$, il risultato non sarebbe differente?
$int(t*e^(-t^2))dt = -1/2 int(-2t*e^(-t^2))dt$ e allora $-1/2int(e^(phi(t)))dt = -1/2int(e^x)dx$
che dà come risultato $-1/2e^x+c$....???
Grazie anticipatamente a chiunque mi aiuterà!
Andrea
Risposte
Non sono fresco di matematica, e probabilmente sbaglio, ma:
- non vedo differenza rispetto all'integrazione per sostituzione classica;
- dato che hai fatto le due sostituzioni differenti in $t$ partendo dallo stesso integrale in $t$, è come se avessi fatto l'integrale di $e^-x$ nel primo caso, e di $e^x$ nel secondo...e infatti i risultati differiscono in quello.
Ma ho un po' di paura di non aver capito io...
- non vedo differenza rispetto all'integrazione per sostituzione classica;
- dato che hai fatto le due sostituzioni differenti in $t$ partendo dallo stesso integrale in $t$, è come se avessi fatto l'integrale di $e^-x$ nel primo caso, e di $e^x$ nel secondo...e infatti i risultati differiscono in quello.
Ma ho un po' di paura di non aver capito io...
OK ma non dovrei ottenere lo stesso risultato facendo due sostituzioni differenti? D'altronde uno è libero di dire che $phi(t) = t^2$ ma anche che $phi(t)=-t^2$ ed avere gli stessi effetti operando opportunamente in ciascuno dei due casi. O no?
Sì, ma la sostituzione si basa su:
- prendi un integrale espresso con la variabile $x$;
- effettui la sostituzione passando alla variabile $t$;
- risolvi in $t$;
- torni dalla variabile $t$ alla $x$.
Tu hai preso un integrale in $t$, l'hai risolto, e hai sostituito la $x$...quindi ti manca il ritorno alla variabile iniziale!
Infatti se fai questa operazione all'inizio o alla fine, i risultati saranno uguali.
Cioè, hai preso un integrale in $t$, e a quello hai sostituito $x$...per ottenere lo stesso risultato devi:
- o tornare alla $t$ dopo averlo risolto (e avrai risultati uguali in $t$);
- oppure esprimere in $x$ l'integrale di partenza (in quel caso avrai risultati diversi perchè con pre-sostituzione avrai ottenuto 2 integrali di partenza differenti)!
- prendi un integrale espresso con la variabile $x$;
- effettui la sostituzione passando alla variabile $t$;
- risolvi in $t$;
- torni dalla variabile $t$ alla $x$.
Tu hai preso un integrale in $t$, l'hai risolto, e hai sostituito la $x$...quindi ti manca il ritorno alla variabile iniziale!
Infatti se fai questa operazione all'inizio o alla fine, i risultati saranno uguali.
Cioè, hai preso un integrale in $t$, e a quello hai sostituito $x$...per ottenere lo stesso risultato devi:
- o tornare alla $t$ dopo averlo risolto (e avrai risultati uguali in $t$);
- oppure esprimere in $x$ l'integrale di partenza (in quel caso avrai risultati diversi perchè con pre-sostituzione avrai ottenuto 2 integrali di partenza differenti)!
Ti ringrazio molto per la risposta. Ti dispiacerebbe cortesemente mostrarmi lo svolgimento di quell'integrale applicando il metodo di $phi(t)$ e $phi'(t)$?
Ancora cioè...hai preso due integrali in $t$ uguali. Questo vuol dire che , se le sostituzione sono diverse, parti da due integrali in $x$ che sono differenti...infatti i tuoi 2 risultati in $x$ sono diversi.
Se invece vuoi risolvere proprio quello in $t$:
$int f(t) dt$
e poi passi a:
$int f(phi(x))*phi'(x)dx$
in seguito dovrai per forza tornare alla variabile $t$ per avere lo stasso risultato.
Spero di non aver fatto casino, ma non mi veniva un modo migliore per spiegarlo...spero di essermi fatto capire
Se invece vuoi risolvere proprio quello in $t$:
$int f(t) dt$
e poi passi a:
$int f(phi(x))*phi'(x)dx$
in seguito dovrai per forza tornare alla variabile $t$ per avere lo stasso risultato.
Spero di non aver fatto casino, ma non mi veniva un modo migliore per spiegarlo...spero di essermi fatto capire
Ora provo..
Immagino che dovessi risolvere:
$int e^-x dx$
...sbaglio?
$int e^-x dx$
...sbaglio?
No, $int (t*e^(-t^2))dt$....Se non ti dispiace 
Ma questo non necessita di sostituzione...è già tutto apposto a fagiolo
La derivata di $e^(-t^2)$ è:
$-2t*e^(-t^2)$
Quindi
$int t*e^(-t^2) dt=1/-2 int -2t*e^(-t^2) dt=-1/2 (e^(-t^2)+c)=-1/2e^(-t^2)+c'$
L'esercizio che hai consiste in questo??
La derivata di $e^(-t^2)$ è:
$-2t*e^(-t^2)$
Quindi
$int t*e^(-t^2) dt=1/-2 int -2t*e^(-t^2) dt=-1/2 (e^(-t^2)+c)=-1/2e^(-t^2)+c'$
L'esercizio che hai consiste in questo??
Sì sì così sapevo farlo anche io
Il mio problema è proprio applicare quella formula. Io gli integrali per sostituzione li ho sempre risolti usando $dt = f'(x)dx$. Però il prof all'università ci ha detto così: prendete una $phi(t)$ e calcolate $phi'(t)$, dopodiché la formula è $int(f(x))dx = int (f(phi(t))*phi'(t)dt$. In questo caso (nel caso dell'integrale in questione) si dovrebbero riconoscere nella funzione le componenti del secondo membro dell'equazione, e poi risolvere in $dx$! Il mio problema è che inconsciamente sono portato a risostituire in modo meccanico tale $phi(t)$ a $x$!
Il mio problema è proprio applicare quella formula. Io gli integrali per sostituzione li ho sempre risolti usando $dt = f'(x)dx$. Però il prof all'università ci ha detto così: prendete una $phi(t)$ e calcolate $phi'(t)$, dopodiché la formula è $int(f(x))dx = int (f(phi(t))*phi'(t)dt$. In questo caso (nel caso dell'integrale in questione) si dovrebbero riconoscere nella funzione le componenti del secondo membro dell'equazione, e poi risolvere in $dx$! Il mio problema è che inconsciamente sono portato a risostituire in modo meccanico tale $phi(t)$ a $x$!
Mi dispiace, ma non capisco quello che mi chiedi...se risolvi un integrale in $t$ (che quindi sono 2 integrali di versi in $x$ a seconda della sostituzione), non puoi risolverlo in $t$, passare alla $x$ con due sost. diferenti, e pretendere che il risultato sia lo stesso...sei partito da due integrali diversi in $x$!!!! E' inevitabile!!!
Non fa niente, mi sono capito da solo grazie tantissimo lo stesso
grazie tantissimo lo stesso
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