Integrali per parti. Ma perkè si aggiungono numeri?
Ragazzi, ho questo integrale
x^2+x+1, perkè al passaggio successivo ci aggiunge +1/4 e poi sottrae 1/4, serve per far diventare la funzione un quadrato di un binomio però perkè dopo fa : int 1/(x^2+x+1) = int 1/{3/4[4/3(x+1/2)^2 + 1}, nn riesco a capirlo,
se volete vi metto la foto dell'esercizio, così è più facile da capire
x^2+x+1, perkè al passaggio successivo ci aggiunge +1/4 e poi sottrae 1/4, serve per far diventare la funzione un quadrato di un binomio però perkè dopo fa : int 1/(x^2+x+1) = int 1/{3/4[4/3(x+1/2)^2 + 1}, nn riesco a capirlo,
se volete vi metto la foto dell'esercizio, così è più facile da capire
Risposte
prova a postare il testo dell'esercizio e la eventuale soluzione che non hai capito...
cmq sugli integrali non garantisco
cmq sugli integrali non garantisco
Garantisco io 
... Si chiama completamento dei quadrati...
Fa ciò per arrivare alla primitiva (o meglio alle primitive).
EDIT: AAh non me ne ero accorto, sono scaduto ieri!
Vedi post seguente di Mr. Taddeo...
... Si chiama completamento dei quadrati...Fa ciò per arrivare alla primitiva (o meglio alle primitive).
EDIT: AAh non me ne ero accorto, sono scaduto ieri!
Vedi post seguente di Mr. Taddeo...
Occhio amel...devi avere la garanzia scaduta...(scherzo ovviamente...) 
$int 1/(x^2+x+1) dx=int 1/(3/4[4/3(x+1/2)^2 + 1]) dx = 4/3int 1/([(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2 + 1]) dx = 2/sqrt3int 2/sqrt3 1/([(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2 + 1]) dx = 2/sqrt3arctg(2/sqrt3x+1/sqrt3)+c$, $c=$costante
P.S.: non so se sia questa la risposta che si attende l'utente che ha aperto il topic, perché purtroppo non comprendo la sua lingua...
$int 1/(x^2+x+1) dx=int 1/(3/4[4/3(x+1/2)^2 + 1]) dx = 4/3int 1/([(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2 + 1]) dx = 2/sqrt3int 2/sqrt3 1/([(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2 + 1]) dx = 2/sqrt3arctg(2/sqrt3x+1/sqrt3)+c$, $c=$costante
P.S.: non so se sia questa la risposta che si attende l'utente che ha aperto il topic, perché purtroppo non comprendo la sua lingua...
Azz... non me ne ero accorto, mi ero fidato di quanto scritto da 75america...
cozza taddeo ha scritto benissimo l'esercizio, mi potreste spiegare perkè si fa così
per calcolare la primitiva in termini di arcotangente...
ma mi spiegate come è venuto in mente di mettere 3/4, 4/3 ecc...
Scusa, adesso non ho tempo per risponderti...
Comunque, lascio agli altri la risposta, sottolineando che in soldoni la domanda è:
perchè mi conviene applicare il completamento dei quadrati quando mi trovo di fronte ad integrali del tipo:
$int 1/(x^2+bx+c) dx$ ?
Come funziona il completamento dei quadrati?
Comunque, lascio agli altri la risposta, sottolineando che in soldoni la domanda è:
perchè mi conviene applicare il completamento dei quadrati quando mi trovo di fronte ad integrali del tipo:
$int 1/(x^2+bx+c) dx$ ?
Come funziona il completamento dei quadrati?
In pratica se non fai così non li risolvi... Infatti solo in rari casi puoi esprimere la primitiva in forma chiusa, quando ti trovi in una situazione del genere puoi tentare di riportarti ad una soluzione nota ( è quello che si fa in questo caso)...
Ormai che mi sono compromesso...
@75america
La tua integranda è una funzione razionale fratta con il numeratore di grado $0$ (una costante) e il denominatore di grado $2$ ed irriducibile (il discriminante è negativo). In questo caso si dimostra che l'integrale è sempre riconducible alla ricerca di una rpimitiva contenente la funzione arcotangente.
L'idea di base è quella di scrivere il polinomio a denominatore come somma di un termine al quadrato contenente la variabile $x$ di integrazione piú $1$. Inoltre a numeratore deve comparire una costante che è la derivata del termine che contiene la $x$.
Mi spiego meglio svolgendo passo-passo il tuo integrale
1) Completamento del quadrato
Il primo passo è quello di scrivere il polinomio come somma di un quadrato contenete la $x$ e di una costante. Per fare ciò si somma e si sottrae una opportuna costante
$x^2+x+1 = x^2+x+1+1/4-1/4 = (x+1/2)^2+3/4$
perciò
$int 1/(x^2+x+1) dx = int 1/((x+1/2)^2+3/4)dx$
2) Esplicitazione dell'unità
Ora, si deve far sí che il quadrato sia sommato a $1$ e non ad una costante qualsiasi. Per far ciò si deve raccogliere a fattor comune a denominatore il valore della costante stessa
$int 1/((x+1/2)^2+3/4)dx=int 1/(3/4[4/3(x+1/2)^2+1])dx=$(passaggi algebrici)=$1/(3/4)int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx=4/3int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx$
3)Assorbimento della costante
Ora però ci si trova ad avere una costante fuori dal quadrato per cui bisogna portarla all'interno. Per far ciò si deve portare dentro la parentesi la sua radice quadrata
$4/3int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx=4/3int 1/[(sqrt(4/3)(x+1/2))^2+1]dx=4/3int 1/[((2/sqrt3)(x+1/2))^2+1]dx=4/3int 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx$
4)Costante a numeratore
Ora, a numeratore deve esserci la costante $2/sqrt3$ che rappresenta la derivata del binomio dentro il quadrato a denominatore. Per ottenerlo moltiplico e divido per quella costante
$4/3int 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx=4/3sqrt3/2 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx=2/sqrt3 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx$
5) Calcolo della primitiva
A questo punto l'integrale è pronto e risulta
$2/sqrt3 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx = 2/sqrt3arctg(2/sqrt3x+1/sqrt3)+c$
Per capire meglio il perché di tutti questi passaggi "esotici" esegui la derivata della primitiva e vedrai che tutte le costanti andranno a posto...
P.S.: La prossima volta scrivi in italiano le tue domande per favore!!!
@75america
La tua integranda è una funzione razionale fratta con il numeratore di grado $0$ (una costante) e il denominatore di grado $2$ ed irriducibile (il discriminante è negativo). In questo caso si dimostra che l'integrale è sempre riconducible alla ricerca di una rpimitiva contenente la funzione arcotangente.
L'idea di base è quella di scrivere il polinomio a denominatore come somma di un termine al quadrato contenente la variabile $x$ di integrazione piú $1$. Inoltre a numeratore deve comparire una costante che è la derivata del termine che contiene la $x$.
Mi spiego meglio svolgendo passo-passo il tuo integrale
1) Completamento del quadrato
Il primo passo è quello di scrivere il polinomio come somma di un quadrato contenete la $x$ e di una costante. Per fare ciò si somma e si sottrae una opportuna costante
$x^2+x+1 = x^2+x+1+1/4-1/4 = (x+1/2)^2+3/4$
perciò
$int 1/(x^2+x+1) dx = int 1/((x+1/2)^2+3/4)dx$
2) Esplicitazione dell'unità
Ora, si deve far sí che il quadrato sia sommato a $1$ e non ad una costante qualsiasi. Per far ciò si deve raccogliere a fattor comune a denominatore il valore della costante stessa
$int 1/((x+1/2)^2+3/4)dx=int 1/(3/4[4/3(x+1/2)^2+1])dx=$(passaggi algebrici)=$1/(3/4)int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx=4/3int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx$
3)Assorbimento della costante
Ora però ci si trova ad avere una costante fuori dal quadrato per cui bisogna portarla all'interno. Per far ciò si deve portare dentro la parentesi la sua radice quadrata
$4/3int 1/[4/3(x+1/2)^2+1]dx=4/3int 1/[(sqrt(4/3)(x+1/2))^2+1]dx=4/3int 1/[((2/sqrt3)(x+1/2))^2+1]dx=4/3int 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx$
4)Costante a numeratore
Ora, a numeratore deve esserci la costante $2/sqrt3$ che rappresenta la derivata del binomio dentro il quadrato a denominatore. Per ottenerlo moltiplico e divido per quella costante
$4/3int 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx=4/3sqrt3/2 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx=2/sqrt3 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx$
5) Calcolo della primitiva
A questo punto l'integrale è pronto e risulta
$2/sqrt3 int 2/sqrt3 1/[(2/sqrt3x+1/sqrt3)^2+1]dx = 2/sqrt3arctg(2/sqrt3x+1/sqrt3)+c$
Per capire meglio il perché di tutti questi passaggi "esotici" esegui la derivata della primitiva e vedrai che tutte le costanti andranno a posto...
P.S.: La prossima volta scrivi in italiano le tue domande per favore!!!
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