Integrali - metodo di sostituzione e per parti
Ciao a tutti vorrei chiedervi una precisazione inerente al metodo di sostituzione attuato solitamente per la risoluzione degli integrali.
vi propongo un esempio senza scrivere l'integrale perche è proprio sul metodo di sostituzione (nei primi passaggi che necessiterei di alcuni chiarimenti).
ad esempio:
$x^2=t$
$2x dx = dt$
volendo avrei potuto scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
quello che non capisco è cosa significa $dx$
nella teoria parla del differenziale di $x$ detto anche $\Delta x$
ma potrebbe essere che significhi la derivata di $x$?
perche nel metodo della sostituzione ogni volta che appare, guarda caso si fa la derivata (proprio come nel primo esempio)
per tale ragione volevo capire se veramente si riferisce a questo oppure no ... perche allora se cosi non fosse potrei scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
giusto?
secondo me indica che sul primo membro si e' fatta la derivata di $x$ quindi metto $dx$ derivando $x^2$ ossia $2x$ e per la questione dell'uguaglianza lo devo fare anche sul secondo membro e, quindi, la derivata di $t$ è $dt$
il fatto pero è che non so se sto dicendo una mega fesseria oppure se ha un senso...
potreste illuminarmi a riguardo???
grazie mille
vi propongo un esempio senza scrivere l'integrale perche è proprio sul metodo di sostituzione (nei primi passaggi che necessiterei di alcuni chiarimenti).
ad esempio:
$x^2=t$
$2x dx = dt$
volendo avrei potuto scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
quello che non capisco è cosa significa $dx$
nella teoria parla del differenziale di $x$ detto anche $\Delta x$
ma potrebbe essere che significhi la derivata di $x$?
perche nel metodo della sostituzione ogni volta che appare, guarda caso si fa la derivata (proprio come nel primo esempio)
per tale ragione volevo capire se veramente si riferisce a questo oppure no ... perche allora se cosi non fosse potrei scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
giusto?
secondo me indica che sul primo membro si e' fatta la derivata di $x$ quindi metto $dx$ derivando $x^2$ ossia $2x$ e per la questione dell'uguaglianza lo devo fare anche sul secondo membro e, quindi, la derivata di $t$ è $dt$
il fatto pero è che non so se sto dicendo una mega fesseria oppure se ha un senso...
potreste illuminarmi a riguardo???
grazie mille
Risposte
Tutto giusto.
A livello geometrico possiamo dire che l'area della parte di piano sottesa dalla curva è uguale a quella di un rettangolo che ha per base il segmento sul quale integri e per altezza il valore medio.
A livello geometrico possiamo dire che l'area della parte di piano sottesa dalla curva è uguale a quella di un rettangolo che ha per base il segmento sul quale integri e per altezza il valore medio.
"minomic":
A livello geometrico possiamo dire che l'area della parte di piano sottesa dalla curva è uguale a quella di un rettangolo che ha per base il segmento sul quale integri e per altezza il valore medio.
Grazie per la precisazione
Calcolare l'area della regione limitata dalle curve $y+x^2-6=0$ e $y+2x-3=0$
$f(x)=-x^2+6$
$g(x)=-2x+3$
punto d'intersezione:
$-x^2+6=-2y+3 => -x^2+2x+3=0$
$x_1=3$
$x_2=-1$
$A=int_-1^3(-x^2+6 - [-2x+3])dx=int_-1^3(-x^2+2x+3)dx=[-x^3/3+x^2+3x]_-1^3=32/3$
Disegnare le curve di equazione $y-x-6=0$, $y-x^3=0$ e $2y+x=0$. Determinare l'area delimitata dalle 3 curve.
$f(x)=x+6$
$g(x)=x^3$
$h(x)=-1/2x$
Punto d'interesezione $f(x)$ e $h(x)$:
$x+6=-1/2x => x=-4$
$A_1=int_-4^0(x+6+1/2x)dx=[x^2/2+6x+x^2/4]_-4^0=12$
Punto d'intersezione $f(x)$ e $g(x)$
$x^3=x+6 => x=2$
$A_2=int_0^2(x+6-x^3)dx=[x^2/2+6x-x^4/4]_0^2= 10$
$A_1+A_2=22$
$f(x)=x+6$
$g(x)=x^3$
$h(x)=-1/2x$
Punto d'interesezione $f(x)$ e $h(x)$:
$x+6=-1/2x => x=-4$
$A_1=int_-4^0(x+6+1/2x)dx=[x^2/2+6x+x^2/4]_-4^0=12$
Punto d'intersezione $f(x)$ e $g(x)$
$x^3=x+6 => x=2$
$A_2=int_0^2(x+6-x^3)dx=[x^2/2+6x-x^4/4]_0^2= 10$
$A_1+A_2=22$
Calcolare i seguenti integrali utilizzando il metodo per parti.
$int xcos$ $dx=[ ( f(x)=x ),( g'(x)=cosx) ] =xsinx - int sinx $ $ dx= xsinx + cosx + C$
$int x^3lnx$ $dx=[ ( f(x)=lnx ),( g'(x)=x^3) ]= lnx * x^4/4 - 1/4int 1/x * x^4$ $dx=lnx * x^4/4 - 1/4int x^3$ $dx=$
$=lnx * x^4/4 - 1/4* x^4/4+C=lnx * x^4/4 - x^4/16+C=x^4/16(4lnx - 1)+C$
$int xcos$ $dx=[ ( f(x)=x ),( g'(x)=cosx) ] =xsinx - int sinx $ $ dx= xsinx + cosx + C$
$int x^3lnx$ $dx=[ ( f(x)=lnx ),( g'(x)=x^3) ]= lnx * x^4/4 - 1/4int 1/x * x^4$ $dx=lnx * x^4/4 - 1/4int x^3$ $dx=$
$=lnx * x^4/4 - 1/4* x^4/4+C=lnx * x^4/4 - x^4/16+C=x^4/16(4lnx - 1)+C$
Sono integrali non limiti 
Vero, e per controllare se sono giusti basta fare una derivata. 
scusate li ho fatti ieri sera... ho sbagliato a trascrivere la consegna.
sono integrali
se ho capito sul libro di mate il metodo per parti... dovrei aver fatto giusto.
Ogni tanto pero mi capita di ritornare al punto di partenza...
anche con il primo integrale mi era successo... ero ritornato alla forma $int xcosx dx$
allora ho provato a scrivere $int xcosx dx = I$ in modo tale che avevo un equazione in $I$ da risolvere.
il caso vuole pero che mi sono ritrovato con $I=I$
sono sicuro che ci sono di mezzo alcune proprietà trigonometriche per questo motivo mi sono ritrovato con $I=I$
fortunatamente pero... cambiando $f(x)$ con $g'(x)$ e $g'(x)$ con $f(x)$ sono riuscito a risolverlo senza arrivare al punto di partenza
sono integrali
se ho capito sul libro di mate il metodo per parti... dovrei aver fatto giusto.
Ogni tanto pero mi capita di ritornare al punto di partenza...
anche con il primo integrale mi era successo... ero ritornato alla forma $int xcosx dx$
allora ho provato a scrivere $int xcosx dx = I$ in modo tale che avevo un equazione in $I$ da risolvere.
il caso vuole pero che mi sono ritrovato con $I=I$
sono sicuro che ci sono di mezzo alcune proprietà trigonometriche per questo motivo mi sono ritrovato con $I=I$
fortunatamente pero... cambiando $f(x)$ con $g'(x)$ e $g'(x)$ con $f(x)$ sono riuscito a risolverlo senza arrivare al punto di partenza
È un incidente che capita spesso ai principianti della risoluzione per parti. Se decidi che un fattore è il fattore finito, anche dopo la trasformazione resterà il fattore finito.
Penso che con un esempio potrei riuscire a capire cosa intendi...
sto facendo il prossimo e qua mi ritorvo con lo stesso problema:
$int arcsinx dx=int 1*arcsinx dx=[ ( g(x)=x ),( f'(x)=1/(sqrt(1-x^2)) )] $
qui sono stato un po costretto a scegliere come $g'(x)=1$ perche non saprei integrare $arcsinx$ ma so derivarlo... questo e' il motivo per il quale ho scelto $g'(x)=1$
continuando mi ritrovo qua:
$=x*arcsinx - int 1/(sqrt(1-x^2)) * xdx$
ma ora se continuo torno al punto di partenza... come potrei fare?
Grazie
OSS: ogni tanto, quando ritornavo al punto di partenza, fare l'equazione in $I$ andava a buon fine, quindi non sempre arrivo a $I=I$ ma in questo caso si ... quindi non so proprio come potrei continuare
mi daresti una dritta?
mille grazie
sto facendo il prossimo e qua mi ritorvo con lo stesso problema:
$int arcsinx dx=int 1*arcsinx dx=[ ( g(x)=x ),( f'(x)=1/(sqrt(1-x^2)) )] $
qui sono stato un po costretto a scegliere come $g'(x)=1$ perche non saprei integrare $arcsinx$ ma so derivarlo... questo e' il motivo per il quale ho scelto $g'(x)=1$
continuando mi ritrovo qua:
$=x*arcsinx - int 1/(sqrt(1-x^2)) * xdx$
ma ora se continuo torno al punto di partenza... come potrei fare?
Grazie
OSS: ogni tanto, quando ritornavo al punto di partenza, fare l'equazione in $I$ andava a buon fine, quindi non sempre arrivo a $I=I$ ma in questo caso si ... quindi non so proprio come potrei continuare
mi daresti una dritta?
mille grazie
Mentre in questo caso io procederei con la sostituzione... ricorda che $D(1-x^2)=-2x$
Ciao!
$int arcsinx dx=int 1*arcsinx dx=[ ( g(x)=x ),( f'(x)=1/(sqrt(1-x^2)) )] =x*arcsinx - int x/(sqrt(1-x^2)) dx=$
$=[ ( 1-x^2=t ),( -2xdx=dt )]=x*arcsinx +1/2* int 1/sqrt(t) dt=x*arcsinx +sqrt(1-x^2)+C$
grazie
$=[ ( 1-x^2=t ),( -2xdx=dt )]=x*arcsinx +1/2* int 1/sqrt(t) dt=x*arcsinx +sqrt(1-x^2)+C$
grazie
Sto provando a fare questa ma mi da gli stessi problemi dell'altra 
$int x*cos^2x dx=[ ( g(x)=x^2/2 ),( f'(x)=-2cosxsinx)]=cos^2x*x^2/2-int -2cosxsinx*x^2/2dx=$
facendo focus sull integrale posso dire:
strada 1:
$=int -2cosxsinx*x^2/2dx=int -cosxsinx*x^2dx=[ (cosx=t => x=cos^-1(t) ),( -sinxdx=dt)]=$
$=int t*cos^-2(t)dt$
e qui sono fritto... perche non e' cambiato niente dall'inizio (eccetto l'esponente del $cos$ ma non mi sembra comunque la strada piu consona).
strada 2:
ho continuato con il metodo per parti ma ritorno esattamente allo stesso integrale di prima come alla stessa e, ormai odiata $I=I$
non so che fare ... qualcuno puo darmi un suggerimento?
grazie
$int x*cos^2x dx=[ ( g(x)=x^2/2 ),( f'(x)=-2cosxsinx)]=cos^2x*x^2/2-int -2cosxsinx*x^2/2dx=$
facendo focus sull integrale posso dire:
strada 1:
$=int -2cosxsinx*x^2/2dx=int -cosxsinx*x^2dx=[ (cosx=t => x=cos^-1(t) ),( -sinxdx=dt)]=$
$=int t*cos^-2(t)dt$
e qui sono fritto... perche non e' cambiato niente dall'inizio (eccetto l'esponente del $cos$ ma non mi sembra comunque la strada piu consona).
strada 2:
ho continuato con il metodo per parti ma ritorno esattamente allo stesso integrale di prima come alla stessa e, ormai odiata $I=I$
non so che fare ... qualcuno puo darmi un suggerimento?
grazie
Premetto che ci sono molte vie.
Se non ti ricordi formule per scomposizione del coseno o cose simili una delle vie è procedere nell'altro verso (che secondo me è parecchio formativo come metodo, anche se non è il più rapido)...
$ int x*cos^2x dx= x*int cos^2x dx -int (int cos^2x dx) dx$
$int cos^2x dx$ è difficilotto ma secondo me con un po' di ragionamento ci dovresti arrivare...
Se non ti ricordi formule per scomposizione del coseno o cose simili una delle vie è procedere nell'altro verso (che secondo me è parecchio formativo come metodo, anche se non è il più rapido)...
$ int x*cos^2x dx= x*int cos^2x dx -int (int cos^2x dx) dx$
$int cos^2x dx$ è difficilotto ma secondo me con un po' di ragionamento ci dovresti arrivare...
$intxcos^2xdx=int x(1+cos2x)/2dx=1/2int(x+xcos2x)dx$
Il primo addendo è di integrazione immediata; il secondo si fa per parti, prendendo il coseno come fattore differenziale.
Il primo addendo è di integrazione immediata; il secondo si fa per parti, prendendo il coseno come fattore differenziale.
vi ringrazio per avermi mostrato alcune delle vie da poter seguire.
Alla fine pero ho voluto "scomporre" il tutto e farlo passo a passo in modo da poterci arrivare da solo ma soprattutto seguendo un mio ragionamento.
Ci ho litigato abbastanza ma alla fine dovrei aver fatto le cose in maniera giusta.
La prima cosa che mi son posto è stata quella di calcolare $int cos^2xdx$
quindi:
$int cos^2xdx=int cosx*cosx dx=cosx*sinx+intsin^2x dx=cosx*sinx+int(1-cos^2x)dx$
ho sfruttato la formula di duplicazione, che ho trovato nel corso di algebra lineare.
a questo punto:
$cosx*sinx+int(1-cos^2x)dx=cosx*sinx+(x-int cos^2xdx)$
se $int cos^2xdx=I$
posso scrivere:
$I=cosx*sinx+x-I=>2I=cosx*sinx+x=>I=1/2*(cosx*sinx+x)+C$
Adesso che so come integrare $int cos^2xdx$ lo posso sfruttare per risolvere l'integrale di prima.
quindi:
$int cos^2x*xdx=x*(cosx*sinx+x)/2-1/2(int cosx*sinx+int x) dx=$
$=x*(cosx*sinx+x)/2-1/2(-cos(2x)/4+x^2/2)=x*(cosx*sinx+x)/2+cos(2x)/8 - x^2/4 + C$
dovrebbe essere giusto...
Alla fine pero ho voluto "scomporre" il tutto e farlo passo a passo in modo da poterci arrivare da solo ma soprattutto seguendo un mio ragionamento.
Ci ho litigato abbastanza ma alla fine dovrei aver fatto le cose in maniera giusta.
La prima cosa che mi son posto è stata quella di calcolare $int cos^2xdx$
quindi:
$int cos^2xdx=int cosx*cosx dx=cosx*sinx+intsin^2x dx=cosx*sinx+int(1-cos^2x)dx$
ho sfruttato la formula di duplicazione, che ho trovato nel corso di algebra lineare.
a questo punto:
$cosx*sinx+int(1-cos^2x)dx=cosx*sinx+(x-int cos^2xdx)$
se $int cos^2xdx=I$
posso scrivere:
$I=cosx*sinx+x-I=>2I=cosx*sinx+x=>I=1/2*(cosx*sinx+x)+C$
Adesso che so come integrare $int cos^2xdx$ lo posso sfruttare per risolvere l'integrale di prima.
quindi:
$int cos^2x*xdx=x*(cosx*sinx+x)/2-1/2(int cosx*sinx+int x) dx=$
$=x*(cosx*sinx+x)/2-1/2(-cos(2x)/4+x^2/2)=x*(cosx*sinx+x)/2+cos(2x)/8 - x^2/4 + C$
dovrebbe essere giusto...
$int ln(x+sqrt(1+x^2))dx=[ ( f'(x)=1/(sqrt(1+x^2)) ),( g(x)=x ) ]=ln(x+sqrt(1+x^2))*x-int 1/(sqrt(1+x^2))*xdx=$
$=[ ( 1+x^2=t ),( 2xdx=dt ) ]=ln(x+sqrt(1+x^2))*x-1/2 int 1/sqrt(t)dt=x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)+C$
$=[ ( 1+x^2=t ),( 2xdx=dt ) ]=ln(x+sqrt(1+x^2))*x-1/2 int 1/sqrt(t)dt=x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)+C$
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