Integrali - metodo di sostituzione e per parti
Ciao a tutti vorrei chiedervi una precisazione inerente al metodo di sostituzione attuato solitamente per la risoluzione degli integrali.
vi propongo un esempio senza scrivere l'integrale perche è proprio sul metodo di sostituzione (nei primi passaggi che necessiterei di alcuni chiarimenti).
ad esempio:
$x^2=t$
$2x dx = dt$
volendo avrei potuto scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
quello che non capisco è cosa significa $dx$
nella teoria parla del differenziale di $x$ detto anche $\Delta x$
ma potrebbe essere che significhi la derivata di $x$?
perche nel metodo della sostituzione ogni volta che appare, guarda caso si fa la derivata (proprio come nel primo esempio)
per tale ragione volevo capire se veramente si riferisce a questo oppure no ... perche allora se cosi non fosse potrei scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
giusto?
secondo me indica che sul primo membro si e' fatta la derivata di $x$ quindi metto $dx$ derivando $x^2$ ossia $2x$ e per la questione dell'uguaglianza lo devo fare anche sul secondo membro e, quindi, la derivata di $t$ è $dt$
il fatto pero è che non so se sto dicendo una mega fesseria oppure se ha un senso...
potreste illuminarmi a riguardo???
grazie mille
vi propongo un esempio senza scrivere l'integrale perche è proprio sul metodo di sostituzione (nei primi passaggi che necessiterei di alcuni chiarimenti).
ad esempio:
$x^2=t$
$2x dx = dt$
volendo avrei potuto scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
quello che non capisco è cosa significa $dx$
nella teoria parla del differenziale di $x$ detto anche $\Delta x$
ma potrebbe essere che significhi la derivata di $x$?
perche nel metodo della sostituzione ogni volta che appare, guarda caso si fa la derivata (proprio come nel primo esempio)
per tale ragione volevo capire se veramente si riferisce a questo oppure no ... perche allora se cosi non fosse potrei scrivere:
$x^2=t$
$x^2 dx = dt$ ???
giusto?
secondo me indica che sul primo membro si e' fatta la derivata di $x$ quindi metto $dx$ derivando $x^2$ ossia $2x$ e per la questione dell'uguaglianza lo devo fare anche sul secondo membro e, quindi, la derivata di $t$ è $dt$
il fatto pero è che non so se sto dicendo una mega fesseria oppure se ha un senso...
potreste illuminarmi a riguardo???
grazie mille
Risposte
Il ragionamento che hai fatto è corretto.
perfetto grazie...
gia che ci sono tengo questo topic aperto per la risoluzione di alcuni integrali (proprio come avevo fatto in precedenza con i limiti). Sarei felice se qualcuno potesse d'armi un occhio per vedere se sto facendo le cose in maniera corretta e per darmi qualche dritta
la cosa bella di questo forum è che dopo posso tranquillamente copiare il codice e metterlo su un foglio in LaTeX, cosi ho tutti i miei allenamenti scritti per bene e in modo ordinato.
rompo il ghiaccio con questo:
Sia $f(x) = 16 - x^2 $, calcolare l'area della regione sotto la curva da $0$ a $3$
$int_0^3(16-x^2)dx=[16x-x^3/3]_0^3=39-0=39$
gia che ci sono tengo questo topic aperto per la risoluzione di alcuni integrali (proprio come avevo fatto in precedenza con i limiti). Sarei felice se qualcuno potesse d'armi un occhio per vedere se sto facendo le cose in maniera corretta e per darmi qualche dritta
la cosa bella di questo forum è che dopo posso tranquillamente copiare il codice e metterlo su un foglio in LaTeX, cosi ho tutti i miei allenamenti scritti per bene e in modo ordinato.
rompo il ghiaccio con questo:
Sia $f(x) = 16 - x^2 $, calcolare l'area della regione sotto la curva da $0$ a $3$
$int_0^3(16-x^2)dx=[16x-x^3/3]_0^3=39-0=39$
$ int (x^4+3x^2-5x+2) dx = x^5/5 + 3*x^3/3 + -5*x^2/2 + 2x + C = 1/5 * x^5 + x^3 - 5/2*x^2 + 2x + C$
Ciao, entrambi gli integrali sono corretti.
L'integrale definito è corretto nella sostanza, ma la forma dovrebbe essere
$int_0^3(16-x^2)dx=[16x-x^3/3]_0^3=39-0=39$
$int_0^3(16-x^2)dx=[16x-x^3/3]_0^3=39-0=39$
Sì certo, davo per scontato che giogiomogio non fosse riuscito a mettere apici e pedici di fianco alle parentesi! 
Grazie ho corretto.
E grazie che mi date sempre un occhio, siete proprio gentili. Questo aspetto è molto importante perchè mi da la giusta motivazione di allenarmi a dovere.
faccio il prossimo:
$int(5x^(3/5)-[4]/[2+x^2])dx = int(5x^(3/5))dx -4 int ([4]/[2+x^2])dx=$
$=25/8*x^(8/5)-4*1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C=$
$=25/8*x^(8/5)-4/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C$
qui ho un dubbio, una volta arrivato qui:
$=25/8*x^(8/5)-4*1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C=$
non sarebbe piu corretto scrivere:
$=25/8*x^(8/5)-4(1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C)=$
perche -4 moltiplica il risultato dell'integrale giusto?
a livello di calcoli $C$ in quanto costante, se venisse moltiplicata per $4$ e quindi $4C$
al risultato non cambierebbe nulla... proprio perche e' una costante infatti se dovessi derivare una funzione $C$ puo essere quello che vuole che tanto darebbe $0$ e infatti quando farei la sottrazione nell'integrale definito la $C$ andrebbe ad annullarsi.
ma se volessi essere pignolo la parentesi dovrei metterla giusto?
E grazie che mi date sempre un occhio, siete proprio gentili. Questo aspetto è molto importante perchè mi da la giusta motivazione di allenarmi a dovere.
faccio il prossimo:
$int(5x^(3/5)-[4]/[2+x^2])dx = int(5x^(3/5))dx -4 int ([4]/[2+x^2])dx=$
$=25/8*x^(8/5)-4*1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C=$
$=25/8*x^(8/5)-4/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C$
qui ho un dubbio, una volta arrivato qui:
$=25/8*x^(8/5)-4*1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C=$
non sarebbe piu corretto scrivere:
$=25/8*x^(8/5)-4(1/sqrt(2)arctan(x/sqrt(2))+C)=$
perche -4 moltiplica il risultato dell'integrale giusto?
a livello di calcoli $C$ in quanto costante, se venisse moltiplicata per $4$ e quindi $4C$
al risultato non cambierebbe nulla... proprio perche e' una costante infatti se dovessi derivare una funzione $C$ puo essere quello che vuole che tanto darebbe $0$ e infatti quando farei la sottrazione nell'integrale definito la $C$ andrebbe ad annullarsi.
ma se volessi essere pignolo la parentesi dovrei metterla giusto?
Secondo me anche il più pignolo dei pignoli l'accetterebbe in ogni caso. Trovo però meglio scrivere il $+C$ fuori da ogni parentesi, sia per la comodità di eventuali calcoli successivi, sia perché si riferisce all'intero integrale di partenza e non ad uno solo degli addendi.
Ok,
quindi è proprio l'ultima cosa che la penna scrive giusto?
cioe come ultima cosa, ultimissima scrivo $+ C$
quindi è proprio l'ultima cosa che la penna scrive giusto?
cioe come ultima cosa, ultimissima scrivo $+ C$
$int (3/(5x)+5^(3x))dx = int(3/(5x))dx + int(5^(3x))dx = 3/5*ln(5x) + [5^(3x)]/[3ln(5)] + C$
$int e^(2x) sin(e^(2x))dx =int 1/2*2 e^(2x) sin(e^(2x))dx=[ ( e^(2x) , = , t ),( 2e^(2x)dx , = , dt ) ] = 1/2*int sin(t)dt =$
$=-1/2*cos(t) + C = -1/2cos(e^(2x)) + C$
$int e^(2x) sin(e^(2x))dx =int 1/2*2 e^(2x) sin(e^(2x))dx=[ ( e^(2x) , = , t ),( 2e^(2x)dx , = , dt ) ] = 1/2*int sin(t)dt =$
$=-1/2*cos(t) + C = -1/2cos(e^(2x)) + C$
Il $+C$ compare al fondo, nell'istante in cui scompare ogni segno di integrale. Se in seguito fai altri calcoli, ad esempio ridurre i termini simili, te lo trasporti dietro.
Gli ultimi esercizi mi sembrano giusti.
Gli ultimi esercizi mi sembrano giusti.
Grazie per l'appunto.
$int e^x/(e^x-1)dx=[ ( e^(x)-1 , = , t ),( e^xdx , = , dt ) ]=int 1/(t)dt = ln|t| = ln|e^x-1|$
$int e^x/(e^x-1)dx=[ ( e^(x)-1 , = , t ),( e^xdx , = , dt ) ]=int 1/(t)dt = ln|t| = ln|e^x-1|$
Ciao, sì è corretto. Comunque si poteva fare anche senza sostituzione, notando che il numeratore è la derivata del denominatore, quindi siamo nel caso $$
\int{\frac{f'(x)}{f(x)}} dx = \ln |f(x)| + C.
$$
\int{\frac{f'(x)}{f(x)}} dx = \ln |f(x)| + C.
$$
Grazie minomic, questa non la sapevo salvata negli appunti.
$int sin(5x)cos^2(5x)dx=[ (5x , = , t ),(5dx , = , dt ),(dx , = , 1/5dt ) ]=$
$=1/5*int sin(t)cos^2(t)dt=1/5*-(cos^3(t))/3 + C =-1/15*cos^3(t) + C=-1/15*cos^3(5x) + C$
dovrebbe essere giusto, pero vorrei chiedervi... dopo la prima sostituzione c'era modo di farne un altra per semplificarlo ulterioremente? oppure gia direttamente alla prima sostituzione avreste fatto diversamente per renderlo piu semplice di come l'ho reso io?
oppure ancora avreste fatto come ho fatto esattamente io?
salvata negli appunti.$int sin(5x)cos^2(5x)dx=[ (5x , = , t ),(5dx , = , dt ),(dx , = , 1/5dt ) ]=$
$=1/5*int sin(t)cos^2(t)dt=1/5*-(cos^3(t))/3 + C =-1/15*cos^3(t) + C=-1/15*cos^3(5x) + C$
dovrebbe essere giusto, pero vorrei chiedervi... dopo la prima sostituzione c'era modo di farne un altra per semplificarlo ulterioremente? oppure gia direttamente alla prima sostituzione avreste fatto diversamente per renderlo piu semplice di come l'ho reso io?
oppure ancora avreste fatto come ho fatto esattamente io?
$int [x]/[sqrt(9-x^4)]dx=int 1/2*[2x]/[sqrt(9-x^4)]dx=[ (x^2 , = , t ),(2xdx , = , dt ) ]=1/2*int [1]/[sqrt(3^2-t^2)]dt=1/2*arcsen(x^2/3)+C$
Ciao, come puoi intuire non sono un grande fan delle sostituzioni, se non quando sono strettamente necessarie...
Prendiamo il primo: $$\int {\sin(5x)\cos^2(5x)}dx.$$ Osserviamo che $sin(5x)$ è piuttosto simile alla derivata di $cos(5x)$ che sarebbe $-5sin(5x)$. Quindi possiamo scrivere $$-\frac{1}{5}\int{-5\sin(5x)\cos^2(5x)dx}.$$ A questo punto siamo nel caso di $$\int{f'(x)\cdot \left[f(x)\right]^{\alpha}}dx = \frac{\left[f(x)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$$ quindi il nostro integrale risulta $$-\frac{1}{5}\frac{\cos^3(5x)}{3} + C = -\frac{\cos^3(5x)}{15} + C.$$
Prendiamo il primo: $$\int {\sin(5x)\cos^2(5x)}dx.$$ Osserviamo che $sin(5x)$ è piuttosto simile alla derivata di $cos(5x)$ che sarebbe $-5sin(5x)$. Quindi possiamo scrivere $$-\frac{1}{5}\int{-5\sin(5x)\cos^2(5x)dx}.$$ A questo punto siamo nel caso di $$\int{f'(x)\cdot \left[f(x)\right]^{\alpha}}dx = \frac{\left[f(x)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$$ quindi il nostro integrale risulta $$-\frac{1}{5}\frac{\cos^3(5x)}{3} + C = -\frac{\cos^3(5x)}{15} + C.$$
Avrei preferito la sostituzione $x^2/3 = t$
Anche nell'esercizio precedente avrei preferito fare subito la sostituzione $cos 5x=t$, quella che minomic ha chiamato $f(x)$, in pratica se devo sostituire preferisco direttamente la funzione interna della composta.
Anche nell'esercizio precedente avrei preferito fare subito la sostituzione $cos 5x=t$, quella che minomic ha chiamato $f(x)$, in pratica se devo sostituire preferisco direttamente la funzione interna della composta.
E ora vediamo il secondo: $$
\int{\frac{x}{\sqrt{9-x^4}}dx} = \int{\frac{x}{3\sqrt{1-\frac{x^4}{9}}}dx} = \int{\frac{x}{3\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx}.
$$ Ora osserviamo che la derivata di $x^2/3$ è $2/3x$ quindi possiamo scrivere $$
\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{3\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx} = \frac{1}{2}\int{\frac{2x}{3}\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx}.
$$ Ora siamo nel caso di $$
\int{f'(x)\frac{1}{\sqrt{1-\left[f(x)\right]^2}}dx} = \arcsin\left[f(x)\right] + C
$$ quindi otteniamo $$
\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x^2}{3}\right) + C
$$
\int{\frac{x}{\sqrt{9-x^4}}dx} = \int{\frac{x}{3\sqrt{1-\frac{x^4}{9}}}dx} = \int{\frac{x}{3\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx}.
$$ Ora osserviamo che la derivata di $x^2/3$ è $2/3x$ quindi possiamo scrivere $$
\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{3\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx} = \frac{1}{2}\int{\frac{2x}{3}\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{3}\right)^2}}dx}.
$$ Ora siamo nel caso di $$
\int{f'(x)\frac{1}{\sqrt{1-\left[f(x)\right]^2}}dx} = \arcsin\left[f(x)\right] + C
$$ quindi otteniamo $$
\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x^2}{3}\right) + C
$$
Grazie mille per i consigli, ne farò tesoro.
Mi sto accorgendo che con la sostituzione ogni tanto non è per niente banale capire con cosa e' meglio sostituire, quindi sto iniziando a seguire minomic, ossia dove posso evitare evito.
$int_0^2(x^2-3x)dx=[(2x^3-9x^2)/6]_0^2=-10/3 - 0 = -10/3$
$int_e^(e^2)(1/(x*lnx))dx=int_e^(e^2) ((1/x)/lnx)dx=[ln|lnx|]_e^(e^2)=ln2 - ln1 = ln2$
$int_2^4x^3(x^2-1)^(-1/2)dx=int_2^4x^2*x/(sqrt(x^2-1))dx=[ ( sqrt(x^2-1) , = , t => x^2=t^2+1 ),( x/(sqrt(x^2-1))dx , = , dt ) ] = $
$=int_sqrt(3)^sqrt(15) (t^2+1) dt=[t^3/3+t]_sqrt(3)^sqrt(15)= 6sqrt(15) - 2sqrt(3)$
$int_0^4x^3(x^2+1)^(-1/2)dx=int_0^4x^2*x/(sqrt(x^2+1))dx=[ ( sqrt(x^2+1) , = , t => x^2=t^2-1 ),( x/(sqrt(x^2+1))dx , = , dt )] = $
$=int_1^sqrt(17) (t^2-1) dt=[t^3/3-t]_1^sqrt(17)= (14sqrt(17)+2)/3$
Mi sto accorgendo che con la sostituzione ogni tanto non è per niente banale capire con cosa e' meglio sostituire, quindi sto iniziando a seguire minomic, ossia dove posso evitare evito.
$int_0^2(x^2-3x)dx=[(2x^3-9x^2)/6]_0^2=-10/3 - 0 = -10/3$
$int_e^(e^2)(1/(x*lnx))dx=int_e^(e^2) ((1/x)/lnx)dx=[ln|lnx|]_e^(e^2)=ln2 - ln1 = ln2$
$int_2^4x^3(x^2-1)^(-1/2)dx=int_2^4x^2*x/(sqrt(x^2-1))dx=[ ( sqrt(x^2-1) , = , t => x^2=t^2+1 ),( x/(sqrt(x^2-1))dx , = , dt ) ] = $
$=int_sqrt(3)^sqrt(15) (t^2+1) dt=[t^3/3+t]_sqrt(3)^sqrt(15)= 6sqrt(15) - 2sqrt(3)$
$int_0^4x^3(x^2+1)^(-1/2)dx=int_0^4x^2*x/(sqrt(x^2+1))dx=[ ( sqrt(x^2+1) , = , t => x^2=t^2-1 ),( x/(sqrt(x^2+1))dx , = , dt )] = $
$=int_1^sqrt(17) (t^2-1) dt=[t^3/3-t]_1^sqrt(17)= (14sqrt(17)+2)/3$
Determinare il valore medio di $f(x)=sqrt(2x+1)$ nell'intervallo $[4,12]$ e darne un'interpretazione geometrica.
Dato che $f(x)$ è integrabile in $[4,12]$, allora il valore medio di $f$ in $[4,12]$ è:
$1/(12-4)*int_4^12(sqrt(2x+1))dx=1/(12-4)*int_4^12(2x+1)^(1/2)dx=1/(12-4)*[((2x+1)^(3/2))/3]_4^12=1/(12-4)*98/3=$
$=49/12$
Interpretazione geometrica:
In sostanza a livello geometrico ho trovato quel valore che se moltiplicato per la base composta dalla sottrazione degli estremi della ragione dell'integrale mi permette di ottenere la stessa area dell'integrale $int_4^12(sqrt(2x+1))dx$
quindi
$int_4^12(sqrt(2x+1))dx=(12-4)*49/12$ dove
$(12-4)=$base
$49/12=$valore medio
Dato che $f(x)$ è integrabile in $[4,12]$, allora il valore medio di $f$ in $[4,12]$ è:
$1/(12-4)*int_4^12(sqrt(2x+1))dx=1/(12-4)*int_4^12(2x+1)^(1/2)dx=1/(12-4)*[((2x+1)^(3/2))/3]_4^12=1/(12-4)*98/3=$
$=49/12$
Interpretazione geometrica:
In sostanza a livello geometrico ho trovato quel valore che se moltiplicato per la base composta dalla sottrazione degli estremi della ragione dell'integrale mi permette di ottenere la stessa area dell'integrale $int_4^12(sqrt(2x+1))dx$
quindi
$int_4^12(sqrt(2x+1))dx=(12-4)*49/12$ dove
$(12-4)=$base
$49/12=$valore medio
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