Integrali indefiniti immediati
Premettendo che non ho capito niente di come si fanno gli integrali, per favore potete spiegarmi passo per passo come svolgere il seguente integrale?
$∫((3x^2 + 1)/(x^2 + 1)) dx$
Il risultato dovrebbe essere $3x - 2arctgx + c$
Grazie a chi mi aiuterà
$∫((3x^2 + 1)/(x^2 + 1)) dx$
Il risultato dovrebbe essere $3x - 2arctgx + c$
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Un modo per calcolare questo è ...
Raccogliere $3$ al numeratore e portarlo fuori ...
$ 3int ((x^2 + 1/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Aggiungere e togliere $2/3$ al numeratore ...
$ 3int ((x^2 + 1/3+2/3-2/3)/(x^2 + 1))\ dx\ =3int ((x^2 + 1-2/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Separarlo in due integrali ...
$3int ((x^2 + 1)/(x^2 + 1))\ dx\ - 3int ((2/3)/(x^2 + 1))\ dx $ da cui $3 int 1\ dx\ - 2 int 1/(x^2+1)\ dx$
E questi sono due integrali immediati ...
Raccogliere $3$ al numeratore e portarlo fuori ...
$ 3int ((x^2 + 1/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Aggiungere e togliere $2/3$ al numeratore ...
$ 3int ((x^2 + 1/3+2/3-2/3)/(x^2 + 1))\ dx\ =3int ((x^2 + 1-2/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Separarlo in due integrali ...
$3int ((x^2 + 1)/(x^2 + 1))\ dx\ - 3int ((2/3)/(x^2 + 1))\ dx $ da cui $3 int 1\ dx\ - 2 int 1/(x^2+1)\ dx$
E questi sono due integrali immediati ...
"axpgn":
Un modo per calcolare questo è ...
Raccogliere $3$ al numeratore e portarlo fuori ...
$ 3int ((x^2 + 1/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Aggiungere e togliere $2/3$ al numeratore ...
$ 3int ((x^2 + 1/3+2/3-2/3)/(x^2 + 1))\ dx\ =3int ((x^2 + 1-2/3)/(x^2 + 1))\ dx $
Separarlo in due integrali ...
$3int ((x^2 + 1)/(x^2 + 1))\ dx\ - 3int ((2/3)/(x^2 + 1))\ dx $ da cui $3 int 1\ dx\ - 2 int 1/(x^2+1)\ dx$
E questi sono due integrali immediati ...
Ho molte domande:
1) Quando si porta un numero fuori dall'integrale non gli succede niente? Cioè una volta portato fuori non dovrebbe essere diverso?
2) Perché proprio $2/3$?
3) Qual è il modo per separare un integrale in due? Si mette il segno dell'argomento dell'integrale al di fuori in pratica?
4) Non capisco perché esce $- 2 int 1/(x^2+1)\ dx$
5) Cos'è un integrale immediato?
Spero di non farti perdere altro tempo, grazie
Premessa: molte delle "manovre" (se non tutte) che ho fatto, discendono da "proprietà" possedute dagli integrali (se così si può dire), quindi la "primissima" cosa che devi fare e prendere un libro e "assimilare" almeno quelle fondamentali (perché dalle domande che fai si evince anche questo ... a mio parere ...)
1) Come da premessa, esiste un teorema (o quello che è ...) che dice "l'integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione", che "tradotto" significa solamente questo:
$int kf(x)\ dx\ =\ kint f(x)\ dx$
ed in pratica vuol dire che puoi "portar fuori" dal segno di integrale una costante (cioè un'espressione che non dipende dalla variabile d'integrazione, in questo caso $x$) che moltiplichi TUTTA la funzione.
2) Un semplice "trucchetto" algebrico per far sì che il numeratore fosse uguale al denominatore; dopo aver raccolto $3$ al numeratore, ero rimasto con un $1/3$ "sopra" e $1$ "sotto", affinché tornasse $1$ anche "sopra" ho aggiunto $2/3$ (e anche tolto per mantenere invariata l'espressione, ovviamente ...)
3) Questo è un altro teorema fondamentale, la "linearità" degli integrali ... "l'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali delle due funzioni", in simboli $int (f(x)+g(x))\ dx=int f(x)\ dx\ +\ int g(x)\ dx$
4) È solo algebra ...
$-3int ((2/3)/(x^2 + 1))\ dx\ =-3int ((2/3)*1/(x^2 + 1))\ dx\ =-3*2/3*int (1/(x^2 + 1))\ dx\ =$
$=-2int (1/(x^2 + 1))\ dx$
5) Gli "integrali immediati" sono quelli che bisogna conoscere a prescindere ...
Così come tu sai che la derivata di $2x^2$ è $4x\ dx$ perché conosci la regoletta allora l'integrale (immediato) di $x\ dx$ sarà $x^2/2$ ..ti basta derivarlo per vedere che è giusto ... in generale gli integrali immediati sono quelli che si possono ottenere dalla regole di derivazione "invertendole" (più o meno ...
) ma non solo ...
Cordialmente, Alex
P.S.: Per rispondere usa il tasto "Rispondi" non il tasto "Cita" ...
1) Come da premessa, esiste un teorema (o quello che è ...) che dice "l'integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione", che "tradotto" significa solamente questo:
$int kf(x)\ dx\ =\ kint f(x)\ dx$
ed in pratica vuol dire che puoi "portar fuori" dal segno di integrale una costante (cioè un'espressione che non dipende dalla variabile d'integrazione, in questo caso $x$) che moltiplichi TUTTA la funzione.
2) Un semplice "trucchetto" algebrico per far sì che il numeratore fosse uguale al denominatore; dopo aver raccolto $3$ al numeratore, ero rimasto con un $1/3$ "sopra" e $1$ "sotto", affinché tornasse $1$ anche "sopra" ho aggiunto $2/3$ (e anche tolto per mantenere invariata l'espressione, ovviamente ...)
3) Questo è un altro teorema fondamentale, la "linearità" degli integrali ... "l'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali delle due funzioni", in simboli $int (f(x)+g(x))\ dx=int f(x)\ dx\ +\ int g(x)\ dx$
4) È solo algebra ...
$-3int ((2/3)/(x^2 + 1))\ dx\ =-3int ((2/3)*1/(x^2 + 1))\ dx\ =-3*2/3*int (1/(x^2 + 1))\ dx\ =$
$=-2int (1/(x^2 + 1))\ dx$
5) Gli "integrali immediati" sono quelli che bisogna conoscere a prescindere ...
Così come tu sai che la derivata di $2x^2$ è $4x\ dx$ perché conosci la regoletta allora l'integrale (immediato) di $x\ dx$ sarà $x^2/2$ ..ti basta derivarlo per vedere che è giusto ... in generale gli integrali immediati sono quelli che si possono ottenere dalla regole di derivazione "invertendole" (più o meno ...
) ma non solo ...Cordialmente, Alex
P.S.: Per rispondere usa il tasto "Rispondi" non il tasto "Cita" ...
Cos'è $c$ nel risultato? Si mette una sola volta? Non si scrive $3x+c-2arctgx+c$?
Un integrale indefinito è la "primitiva" di una funzione cioè è quella funzione che se derivata ci restituisce la funzione da integrare; in simboli $F(x)=int f(x)\ dx\ ->\ F'(x)=f(x)$.
Ora se alla nostra primitiva $F(x)$ aggiungiamo una costante qualsiasi, la derivata sarà esattamente la medesima, quindi se vogliamo essere precisi, nella "descrizione"del nostro integrale indefinito alla primitiva $F(x)$ dobbiamo aggiungere una costante (indeterminata).
Si mette una sola volta perché essendo le costanti $c_1, c_2, ...$ indeterminate cioè valori qualsiasi possiamo benissimo sostituirle con un unico valore che le comprende tutte $c=c_1+c_2+...$
Ora se alla nostra primitiva $F(x)$ aggiungiamo una costante qualsiasi, la derivata sarà esattamente la medesima, quindi se vogliamo essere precisi, nella "descrizione"del nostro integrale indefinito alla primitiva $F(x)$ dobbiamo aggiungere una costante (indeterminata).
Si mette una sola volta perché essendo le costanti $c_1, c_2, ...$ indeterminate cioè valori qualsiasi possiamo benissimo sostituirle con un unico valore che le comprende tutte $c=c_1+c_2+...$
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