Integrali indefiniti da esame
ciao a tutti ragazzi, volevo chiedervi informazioni per quanto riguarda questi integrali. Sono tracce di esami che non sono riuscito a passare.
$\int f(x)dx$
dove $ f(x) = (x^5 +x -4)/ (x^2 -1 )$
ho svolto l'esercizio dividento i polinomi, ricavando Q(x) = $ x^3 -x$
e ricavando l'integrale $ int x^3 + x - (x-4)/(x^2 - 1) $
ho sviluppato i 2 integrali immediati $ x^4/4 + x^2/2 - int (x-4)/(x^2 - 1)$
l'integrale rimanente l'ho diviso in 2 parti, così : $ int x/ (x^2 -1) - int 4 /(x^2 -1) $
visto che ho notato che manca il 2 al numeratore per essere la derivata del denominatore, ho svolto così il resto
$ int 2x/ (x^2 -1) - int 4/(x^2 -1) $
dove ho trovato $log (x^2 - 1) +c - 1/4 int 1/(x^2 -1) $
per risolvere l'ultimo integrale ho applicato la regola dei fratti semplici
quindi :
$ A= 1/2 B=-1/2$
$1/2 int 1/(x+1) - 1/2 int 1/(x-1) $
dove ricavo (sempre se ho fatto giusto)
$ x^4/4 + x^2/2 - log (x^2+1) + 1/2 log (x+1) - 1/2 (x -1) +c $
non sono sicuro se ho svolto bene, quindi potete darmi una mano? Vi ringrazio.
$\int f(x)dx$
dove $ f(x) = (x^5 +x -4)/ (x^2 -1 )$
ho svolto l'esercizio dividento i polinomi, ricavando Q(x) = $ x^3 -x$
e ricavando l'integrale $ int x^3 + x - (x-4)/(x^2 - 1) $
ho sviluppato i 2 integrali immediati $ x^4/4 + x^2/2 - int (x-4)/(x^2 - 1)$
l'integrale rimanente l'ho diviso in 2 parti, così : $ int x/ (x^2 -1) - int 4 /(x^2 -1) $
visto che ho notato che manca il 2 al numeratore per essere la derivata del denominatore, ho svolto così il resto
$ int 2x/ (x^2 -1) - int 4/(x^2 -1) $
dove ho trovato $log (x^2 - 1) +c - 1/4 int 1/(x^2 -1) $
per risolvere l'ultimo integrale ho applicato la regola dei fratti semplici
quindi :
$ A= 1/2 B=-1/2$
$1/2 int 1/(x+1) - 1/2 int 1/(x-1) $
dove ricavo (sempre se ho fatto giusto)
$ x^4/4 + x^2/2 - log (x^2+1) + 1/2 log (x+1) - 1/2 (x -1) +c $
non sono sicuro se ho svolto bene, quindi potete darmi una mano? Vi ringrazio.
Risposte
la scomposizione in fratti semplici dopo la divisione a me viene cosi:
\[x^3+x-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1+x};\]
prova a ricontrollare i calcoli.
\[x^3+x-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1+x};\]
prova a ricontrollare i calcoli.
Scusami Noisemaker, puoi spiegarmi come hai fatto la scomposizione in fratti semplici? Scusa il disturbo .-.
"Valeinrima":
dove $ f(x) = (x^5 +x -4)/ (x^2 -1 )$
Non so come ha fatto Noisemaker, ma io ho un metodo che mi piace molto nel caso in cui il denominatore non è troppo complicato (quindi binomio, al max, trinomio).
$\frac{x^5+x-4}{x^2-1}=\frac{x^5-x^3+x^3+x-4}{x^2-1}=x^3+\frac{x^3+x-4}{x^2-1}=x^3+\frac{x^3-x+x+x-4}{x^2-1}=$
$=x^3+x+\frac{2x-4}{x^2-1}$
A questo punto basta scomporre l'ultima frazione ottenendo
$\frac{3}{x+1}-\frac{1}{x-1}$
che è ugualea quanto detto da Noisemaker.
Il procedimento è il solito
$A/(x+1)+B/(x-1)=(A(x-1)+B(x+1))/(x^2-1)$
ottenendo come numeratore $x(A+B)-A+B=2x-4$ che, a sistema, ci dà quanto detto.
"Zero87":
[quote="Valeinrima"]dove $ f(x) = (x^5 +x -4)/ (x^2 -1 )$
Non so come ha fatto Noisemaker, ma io ho un metodo che mi piace molto nel caso in cui il denominatore non è troppo complicato (quindi binomio, al max, trinomio).
$\frac{x^5+x-4}{x^2-1}=\frac{x^5-x^3+x^3+x-4}{x^2-1}=x^3+\frac{x^3+x-4}{x^2-1}=x^3+\frac{x^3-x+x+x-4}{x^2-1}=$
$=x^3+x+\frac{2x-4}{x^2-1}$
[/quote]
fico
"gio73":
[quote="Zero87"]ma io ho un metodo che mi piace molto nel caso in cui il denominatore non è troppo complicato [...]
fico[/quote]
Alle superiori ci mettevo un'ora quando si trattava di divisione tra polinomi e dovevo ricontrollare ogni esercizio almeno 2-3 volte perché sbagliavo sempre qualche calcolo. Fino a quando non ricordo se la prof. del quarto o il prof. del quinto suggerì di utilizzare somme/sottrazioni e raccoglimenti quando il denominatore era un binomio (al max. trinomio).
L'ho detto anche qua, sinceramente pensavo fosse una cosa più comune.
Per me è veramente comodo perché vado in linea e il calcolo mi rimane abbastanza agevole (fino a che al denominatore c'è un binomio o trinomio).
"Valeinrima":
visto che ho notato che manca il 2 al numeratore per essere la derivata del denominatore, ho svolto così il resto
$ int 2x/ (x^2 -1) - int 4/(x^2 -1) $
se moltiplichi per 2 per avere la derivata del denominatore, devi anche ricordarti di dividere per 2 al fine di non alterare nulla.
"Ev3nt":
[quote="Valeinrima"]
visto che ho notato che manca il 2 al numeratore per essere la derivata del denominatore, ho svolto così il resto
$ int 2x/ (x^2 -1) - int 4/(x^2 -1) $
se moltiplichi per 2 per avere la derivata del denominatore, devi anche ricordarti di dividere per 2 al fine di non alterare nulla.[/quote]
Sisi ho dimenticato di inserirlo nel testo, ma ho svolto come dici, grazie mille ^_^
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